ООО "Торговый дом металлоконструкций" Завод металлоконструкций. Изготовление сварной балки переменного сечения

Лекция № 30. Расчет балок переменного сечения.

Подбор сечений балок равного сопротивления.

Все предыдущие расчеты относились к балкам постоянного сечения. На практике мы имеем часто дело с балками, поперечные размеры которых меняются по длине либо постепенно, либо резко.

Ниже рассмотрено несколько примеров подбора сечения и определения деформаций балок переменного профиля.

Так как изгибающие моменты обычно меняются по длине балки то, подбирая ее сечение по наибольшему изгибающему моменту, мы получаем излишний запас материала во всех сечениях балки, кроме того, которому соответствует . Для экономии материала, а также для увеличения в нужных случаях гибкости балок применяют балки равного сопротивления . Под этим названием подразумевают балки, у которых во всех сечениях наибольшее нормальное напряжение одинаково и должно быть равно допускаемому .

Условие, определяющее форму такой балки, имеет вид

Здесь М(х) и W(x) — изгибающий момент и момент сопротивления в любом сечении балки; W(х) для каждого сечения балки должен меняться пропорционально изгибающему моменту.

Эти условия справедливы и для сечения с наибольшим изгибающим моментом; если обозначить — момент сопротивления балки в сечении с наибольшим изгибающим моментом , то можно написать:

Покажем ход вычислений на примере. Рассмотрим балку пролетом l , защемленную концом А и нагруженную на другом конце силой Р (Рис.1). Выберем сечение этой балки в виде прямоугольника; задачу о надлежащем изменении момента сопротивления можно решать, меняя высоту или ширину балки или тот и другой размер вместе.

Рис.1. Расчетная схема балки равного сопротивления

Пусть высота балки будет постоянной , а ширина переменной—. Момент сопротивления в сечении на расстоянии х от свободного конца будет , а изгибающий момент ; момент сопротивления опорного сечения , a наибольший изгибающий момент в опорном сечении . В расчете имеют значения лишь абсолютные величины М(х) и

По формуле (1) получаем:

т. е. ширина меняется по линейному закону в зависимости от х. При ширина равна .

Из балок переменного сечения для зданий на основе металлокаркаса применяются в строительстве достаточно широко и активно. Поскольку в целом ряде ситуаций обладают экономическими преимуществами перед как металлоконструкциями из стандартного прокатного металла, так и перед конструкциями из лёгких гнутых профилей .

Суть применения балок переменного сечения заключается в том, что нагрузки на несущие конструкции металлокаркасов отнюдь не равномерны на всей протяжённости элементов этих конструкций. И если сечение стандартного металлопроката (постоянного сечения) при проектировании выбирается исходя из максимальных нагрузок на всём протяжении каждого конкретного элемента – например, при выборе сечения балки при проектировании колонны – то применение балок переменного сечения позволяет сконструировать эту колонну с сечением, фактически повторяющим эпюру напряжений, приходящихся на эту колонну, с максимальным сечением лишь там, где на колонну приходятся максимальные нагрузки. Это, в достаточно большом количестве ситуаций, безусловно, позволяет существенно уменьшить вес конструкций, и, соответственно, их цену.

Целесообразность использования металлоконструкций из балок переменного сечения наиболее ярко проявляется при пролётах свыше 20 м, высотах колонн свыше 10 м, а так же при проектировании в зданиях и меньших пролётов грузоподъёмных механизмов – кран-балок и мостовых кранов. В отдельных случаях разница в металлоёмкости, по сравнению с использованием металлопроката постоянного сечения, может доходить до полутора раз. Ну а использование лёгких гнутых оцинкованных профилей (ЛСТК), при наличии в проектируемом здании грузоподъёмных механизмов, вообще затруднено или, как минимум, сильно ограничено. Так же экономическая и технологическая целесообразность применения конструкций из легких гнутых оцинкованных профилей сводится на нет при проектировании и строительстве односкатных зданий.

Тем не менее, металлоконструкции из балок переменного сечения не в состоянии вытеснить классические металлоконструкции – в каркасах зданий относительно небольшой высоты и относительно небольшой ширины, пусть и с грузоподъёмным оборудованием. Да и в зданиях, где каркас из балок переменного сечения вроде как при расчёте выглядит предпочтительнее, он не всегда приемлем с точки зрения архитектурных или каких-либо иных требований. Кроме того, классические конструкции чаще всего незаменимы при реконструкции – встройке внутренних межэтажных перекрытий, возведении пристроек, односкатных зданий.

Таким образом, любой из применяемых вариантов металлоконструкций, по сравнению с другими вариантами, обладает как своими достоинствами и преимуществами, так и недостатками. И выбор оптимального варианта лучше всего доверить профессионалам в проектировании и строительстве.

Широкое распространение процессов автоматизации производства позволяет значительно расширить сферу применения сварных балок. Возможность создания сварных металлоконструкций заданных размеров снижает расход металла, а это выгодно с точки зрения их конечной стоимости.

Резка заготовок трактором с газовым резаком

Изготовление сварной балки переменного сечения.

Сборка балки на прихватках.

Поперечные сечения балок, в особенности двутаврового профиля, разнятся по длине. Для создания необходимой прочности при оптимальных размерах сварных балок меняют толщину или ширину горизонтальных листов. Это имеет больший смысл, чем менять толщину вертикальных листов. Балки переменного сечения позволяют лучше использовать несущую способность металла по всей их длине. Они экономят металл по сравнению с балками постоянного профиля, значительная часть которых работает при напряжениях, значительно меньших допускаемых. С точки зрения технологии производство балок переменного профиля сложнее. Выбор конструкций происходит с экономических позиций и, часто, с учетом общей компоновки, и даже с эстетической точки зрения.

После сварки сварной балки переменного сечения в защитной среде (под флюсом), шов балки имеет следующий вид сварного шва сварной балки.

Сварные балки переменного сечения обладают рядом преимуществ по сравнению с решетчатыми конструкциями. При проектировании они позволяют получать наиболее оптимальное решение по весовым показателям. Так же, сварные балки переменного сечения обеспечивают исключительную надежность, повышенную коррозионную стойкость и малую строительную высоту. Применение сварных балок переменного сечения позволило отказаться от большого количества мелких элементов при монтаже, которые присущи решетчатым металлоконструкциям.

Тульский завод металлоконструкций изготавливает металлоконструкции из Сварной балки переменного сечения, по проектам разработанными специалистами нашей компании, также осуществляет изготовление сварной балки переменного сечения по Вашим чертежам.

1.1. Так как ни один из геометрических параметров, например, ширина шарнирно опертой балки изменяться от b в начале пролета, до 0 в середине пролета не может (такая балка разрушится), то сначала выполняется расчет по прочности и исходя из этого расчета определяются геометрические параметры наиболее нагруженного сечения. Следовательно такую балку можно рассматривать как две балки: одну с постоянной шириной, а вторую с шириной изменяющейся от Δb до 0. При этом эпюра моментов характеризует прогиб для балки постоянного сечения, а кроме того эту эпюру можно рассматривать, как эпюру нормальных напряжений для балки постоянного сечения.

1.2. Общая эпюра нормальных напряжений, возникающих в поперечных сечениях балки, характеризует общий прогиб балки.

1.3 Если наложить эпюру моментов на эпюру напряжений балки переменного сечения, то соблюдении определенных условий разница между этими эпюрами покажет изменение прогиба для балки переменного сечения.

Точнее разность площадей этих эпюр можно рассматривать как некую фиктивную нагрузку и тогда разница этих эпюр покажет изменение фиктивной опорной реакции А, а при делении полученного значения на жесткость - изменение угла поворота на опоре А. Тогда фиктивный момент (фиктивная опорная реакция, умноженная на расстояние от точки приложения фиктивной опорной реакции до рассматриваемой точки, минус площадь разностной эпюры, умноженная на расстояние от центра тяжести разностной эпюры до рассматриваемой точки) покажет изменение прогиба.

Примечание : принципы графоаналитического метода в данной статье на рассматриваются.

Например, для балки с линейно изменяющейся шириной b разностная эпюра будет выглядеть так:

Рисунок 323.1.1

При этом на разностную эпюру будет влиять не только характер нагрузки на балку, но также и величина отклонения от минимально допустимого размера поперечного сечения. Так, если Δb → 0, то сечение балки стремится к постоянному значению. При значительном увеличении Δb по сравнению с b уменьшается эффективность использования материала, хотя при этом и прогиб уменьшается. Условие Δb → b не допускается принятыми в п.1.1 ограничениями. Поэтому расчет балок с сечением, уменьшающимся от начала балки к середине, зависит от значения b min . Кроме того, от значений b min и Δb зависит характер изменения нормальных напряжений.

Прогиб балки с линейно уменьшающейся шириной сечения при сосредоточенной нагрузке посредине пролета

1.4. Так как изменение нормальных напряжений для балки с сосредоточенной нагрузкой описывается зависимостью вида:

σ = М/W = 6Ax/bh 2 (323.1.1)

то при постоянном значении h 2 /6 = C = 1 формула (323.1.1) примет вид:

σ = Qx/2C(b - b min y) = Qx/2(nb min - b min y) (323.1.2)

После соответствующих преобразований получим следующую зависимость:

b min σ = Qx/2(n - y) (323.1.3)

Где b min в данном случае постоянная величина и ее значение также можно принять равным 1. Тогда например, при Δb = b min = b/2, n = 2, у = 2х, разностная эпюра описывается двумя линиями, имеющими следующую зависимость:

f 1 (x) =σ п = Qx/2; f 2 (x) = σ и = Qx/4(1- x) (323.2.1)

В данном случае значение опорной реакции А = Q/2 - постоянная величина и для упрощения расчетов ее можно вынести за пределы интегрирования. Данные линии пересекаются в точках 0 и 0.5 (начало балки и середина пролета или нижний и верхний предел интегрирования), тогда:

ω 2 = (Q/2)∫хdx (323.2.2)

ω 1 = (Q/2)(1/2)∫(x/(1-x))dх = (Q/4)(-x - ln(1 - x)) = (Q/4)(0.193147)l 2 = 0.772588Ql 2 /16 (323.2.3)

ω р = ω 2 - ω 1 = Ql 2 /16 - 0.77288Ql 2 /16 = 0.22712Ql 2 /16 (323.2.4)

Примечание : В данном случае нас интересует разностная эпюра потому, что определить расстояние до центра тяжести разностной эпюры намного проще, чем искать центр тяжести для эпюры с площадью ω 1 . Визуально (рис.323.1 д) это расстояние составляет l/4. Кроме того для визуальной оценки результатов интегрирования для эпюр моментов и напряжений на рисунках 323.1 - 323.3 сначала строились графики функций (см. рис.323.1.2).

M ф = Ql 2 /16(l/3) - (0.22712Ql 2 /16)(l/4) = Ql 3 /48 - 0.17Ql 3 /48 = 0.83Ql 3 /48 (323.2.5)

f пр = 0.83Ql 3 /48EI bmin (323.2.6)

В данной случае I bmin означает, что мы рассматриваем изменение прогиба по отношению к балке с постоянным моментом инерции и соответственно постоянной шириной сечения b min .

Чтобы было еще более наглядно, для рассматриваемого случая увеличение материала балки в 1.5 раза приводит к уменьшению прогиба в 1.184 раза.

Если изменение ширины сечения будет описываться другой зависимостью, то приближенные результаты можно получить интерполяцией данных рисунка 323.1.2.

Рисунок 323.1.2

Как видно из данного рисунка, при соотношении Δb/b = 1/3 (f(x) = 2x/(3 - 2x)) площадь разностной эпюры будет приблизительно в 2 раза меньше, чем при рассматривавшемся соотношении 1/2. При соотношении 2/3 площадь разностной эпюры увеличится приблизительно на 1/2.

Прогиб балки с линейно уменьшающейся шириной сечения при равномерно распределенной нагрузке

При равномерно распределенной нагрузке изменится и эпюра моментов и эпюра нормальных напряжений

Рисунок 323.2

σ = М/W = 6(qlx - qx 2)/2bh 2 (323.4.1)

то при постоянном значении h 2 /3 = C =1 формула 323.1.1) примет вид:

σ = (qlx - qx 2)/C(nb min - b min y) (323.4.2)

b min σ = (qlx -x 2)/(n - y) (323.4.3)

При b min ;= 1, при Δb = b min = b/2, n = 2, у = 2х, разностная эпюра описывается двумя линиями, имеющими следующую зависимость:

f 1 (x) = (qlx - qx 2); f 2 (x) = (qlx - qx 2)/2(1- x) (323.4.4.1)

Данные линии пересекаются в точках 0 и 0.5 (начало балки и середина пролета или нижний и верхний предел интегрирования), тогда:

ω 2 = q∫(lх - x 2)dx = q(l∫xdx - ∫x 2 dx ) = q(l 3 /8 - l 3 /24) = ql 3 /24 (323.4.5.1)

ω 1 = (q/2)(l∫x/(1-x) - ∫(x 2 /(1-x))dх = (ql/2)(0.193147)l 2 - (q/2)(0.068147)l 3 = ql 3 /32 (323.4.6.1)

тогда площадь разностной эпюры составит:

ω р = ω 2 - ω 1 = ql 3 /24 - ql 3 /32 = ql 3 /96 = 0.25ql 3 /24 (323.4.7)

Тогда значение фиктивного изгибающего момента составит:

M ф = ql 3 /24(5l/16) - (ql 3 /96)(l/4) = 5ql 4 /384 - ql 4 /384 = ql 4 /96 = 4ql 4 /384 (323.4.8)

f пр = 4ql 4 /384EI bmin (323.4.9)

В данной случае I bmin также означает, что мы рассматриваем изменение прогиба по отношению к балке с постоянным моментом инерции и соответственно постоянной шириной сечения b min .

Чтобы было еще более наглядно, при равномерно распределенной нагрузке увеличение материала балки в 1.5 раза приводит к уменьшению прогиба в 1.2 раза.

Если длину балки также принять за некую единицу, что допустимо при выбранных нами пределах интегрирования, то уравнения функций будут выглядеть так:

f 1 (x) = (q/2)x(1 - x); f 2 (x) = (q/4)x(1 - x)/(1- x) = qx/4 (323.4.4.2)

Т.е. в данном случае график, описывающий эпюру напряжений, имеет линейную зависимость (рис.323.2 в).

ω 2 = (q/2)∫x(1 - x)dx = (q/2)(1/12) = q/24 = ql 3 /24 (323.4.5.2)

ω 1 = (q/4)∫xdх = (q/4)(x 2 /2) = (q/4)(1/8) = ql 3 /32 (323.4.6.2)

Прогиб балки с линейно уменьшающейся высотой при сосредоточенной нагрузке посредине балки

Так как момент сопротивления W = bh 2 /6 для прямоугольного сечения, то даже при линейно уменьшающейся высоте зависимость между нормальными напряжениями и эпюрой моментов будет не линейной даже при сосредоточенной нагрузке, приложенной посредине балки. При равномерно распределенной нагрузке определение прогиба методом интегрирования еще более усложнится. Но в целом влияние изменения высоты на прогиб изменится, так как в данном случае следует рассматривать не изменяющуюся высоту, а квадрат изменяющейся высоты, а так как момент инерции это I = bh 3 /12 для прямоугольного сечения, то эпюру моментов следует сравнивать с кубическим изменением высоты сечения.

Рисунок 323.3

При Δh = h min = h/2, n = 2, у = 2х, разностная эпюра описывается двумя линиями, имеющими следующую зависимость:

f 1 (x) = Qx/2; f 2 (x) = Qx/16(1- x) 3 (323.5.1)

ω 2 = (Q/2)∫хdx = (Q/2)(x 2 /2) = (Q/2)(l 2 /8) = Ql 2 /16 (323.5.2)

ω 1 = (Q/2)(1/8)∫(x/(1-x) 3)dх = (Q/16)(1/2) = Ql 2 /32 (323.5.3)

тогда площадь разностной эпюры составит:

ω р = ω 2 - ω 1 = Ql 2 /16 - Ql 2 /32 = Ql 2 /32 (323.5.4)

Значение фиктивного изгибающего момента составит:

M ф = Ql 2 /16(l/3) - Ql 2 /32(l/4) = Ql 3 /48 - Ql 3 /128 = (1 - 0.375)Ql 3 /48 = 0.625Ql 3 /48 (323.5.5)

f пр = 0.625Ql 3 /48EI bmin (323.5.6)

Примечание : расстояние от центра тяжести разностной эпюры до начала координат определено визуально по рисунку 323.3.

Прогиб балки с линейно уменьшающейся высотой сечения при равномерно распределенной нагрузке

Так как при линейно уменьшающейся ширине сечения разница в прогибах при сосредоточенной нагрузке, приложенной посредине пролета и равномерно распределенной нагрузке крайне незначительна, то можно предположить, что такая же незначительная разница будет и при линейно изменяющейся высоте сечения. Тогда при Δh = h min = h/2

f пр ≈ 3ql 4 /384EI bmin (323.6.6)

Прогиб балки с высотой сечения, уменьшающейся пропорционально изгибающему моменту

Примером такой балки является любая шарнирно опертая железобетонная балка с трещинами в растянутой зоне. В результате действия нормальных напряжений высота сжатой зоны сечения балки изменяется нелинейно. Эту зависимость можно приблизительно выразить так:

Рисунок 323.4

Железобетонная балка с арматурой в растянутой зоне может рассматриваться как балка переменного сечения. В поперечных сечениях, в которых изгибающий момент равен нулю или очень мал, сжимающие напряжения вызывают упругие деформации бетона, растягивающие напряжения вызывают упругие деформации и бетона и арматуры. При выбранной расчетной схеме сжимаемой будет верхняя часть сечения, а растягиваемой нижняя часть сечения. После того, как растягивающие напряжения достигнут предела прочности бетона при растяжении, бетон в растягиваемой зоне начнет разрушаться - начнут образовываться трещины - и потому с увеличением растягивающих напряжений все большую часть этих напряжений будет воспринимать арматура и все меньшую часть бетон нижней части сечения. Таким образом будет уменьшаться высота приведенного сечения балки. Минимальной высота приведенного сечения будет в точке действия максимального изгибающего момента.

При этом увеличение изгибающего момента будет приводить к уменьшению квадрата высоты сжатой зоны сечения (эпюра "h 2 "). На эпюре "h 2 " также показано влияние нелинейного изменения высоты сечения по сравнению с линейным изменением высоты сечения. При подобном нелинейном изменении высоты площадь разностной эпюры при соотношении h min = h/2 будет в 2 раза меньше, чем при линейном изменении высоты.

Если рассматривать только упругие деформации сжатой области поперечных сечений бетона, то уменьшение квадрата высоты в два раза означает изменение высоты Δh от 0 до h min /√2 .

Таким образом, используя данные, полученные при рассмотрении балок с линейно уменьшающейся шириной и высотой сечения, суммарное влияние нелинейного изменения высоты и изменения соотношения h min /h можно выразить так:

f пр ≈ 5ql 4 /384EI hmin - 2ql 4 /(384·2·1.41EI hmin) = (5 - 0.7)ql 4 /384EI hmin ≈ 4.3ql 4 /384EI hmin ≈ 0.86·5ql 4 /384EI hmin (323.7.6.1)

При этом 0.86 можно рассматривать как значение поправочного коэффициента, учитывающего изменяющуюся высоту балки.

Примечание : Более точное определение влияния изменяющейся высоты сжатой зоны сечения на прогиб является достаточно трудоемкой задачей, в частности следует учесть что высота сечения начнет изменяться не сразу от начала балки, так как возле опор при данной расчетной схеме будут участки без трещин. Но даже если в ходе логических рассуждений были допущены ошибки, то все равно точное значение коэффициента не может выходить за пределы 0.8-0.9, потому для оценочных расчетов прогиба железобетонных балок при равномерно распределенных нагрузках можно использовать указанное в формуле (323.7.6) значение. Впрочем, на определение прогиба железобетонных балок куда большее влияние могут оказать пластические деформации в сжатой зоне бетона и как следствие - уменьшение начального модуля упругости бетона на некотором участке длины балки, что можно рассматривать и как дополнительное уменьшение высоты сечения.

Соответственно, если по каким-либо причинам изменение высоты сечения составит h/2, то