Задачи на движение как решать? Методика решения задач на движение. Задачи на сближение и удаление

В жизни нам часто приходится иметь дело с величинами: расстояние, время, скорость движения, При решении таких задач мы исходим из того, что все тела двигаются с постоянной скоростью и по прямолинейному пути. Это далеко от реальности, но и при таком упрощении реальных условий можно получить вполне удобоваримые результаты, находя значение одной из этих величин по значениям двух других.

Задача 1. От Ленинграда до Таллинна 360 км, автобус проходит это расстояние за 6 ч . Найти скорость движения автобуса.

В этой задаче дано расстояние между городами 360 км, время движения автобуса 6 ч. Требуется найти скорость движения автобуса.

Решение. 360:60=60 (км в час).

Ответ. Скорость автобуса 60 км в час.

Составим и решим обратные задачи.

Задача 2. От Ленинграда до Таллинна 360 км. За какое время проходит автобус это расстояние, если он будет ехать со скоростью 60 км в час?

Решение. 360:60=6 (ч.)

Ответ. Время движения автобуса? ч.

Задача 3. Автобус, двигаясь со скоростью 60 км в час, проходит расстояние от Ленинграда до Таллинна за 6 ч. Найти расстояние от Ленинграда до Таллинна.

Решение. 60*?=360 (км).

Ответ. Расстояние от Ленинграда до Таллинна 360 км.

Если обозначить расстояние через , скорость через, время движения через,то зависимость между расстоянием, скоростью и временем движения можно записать формулами:

2.Задачи на встречное движение.

В жизни мы наблюдаем встречное движение. Если выйдем на улицы города, то увидим, как навстречу друг другу двигаются по тротуару пешеходы, по мостовой – троллейбусы, автобусы, трамваи, легковые и грузовые автомашины, велосипедисты, мотоциклисты. По рекам города ходят навстречу друг другу катера. По железной дороге мимо друг друга проносятся поезда, в небе пролетают самолеты.

Задачи, связанные со встречным движением, разнообразны. Прежде всего выясним, с какими величинами приходится иметь дело, когда происходит встречное движение, и какова зависимость между ними.

Пусть из пунктов А и В выходят одновременно навстречу друг другу два пешехода. Один со скоростью 4 км в час, другой 5 км в час.

4 км в час 5 км в час

За час пешеходы вместе пройдут 4+5=9 (км). Расстояние между ними уменьшится на 9 км. Иначе говоря, они приблизятся друг к другу за час движения на 9 км. Расстояние, на которое приблизятся друг к другу два пешеходы за час, назовем скоростью их сближения. 9 км в час – скорость сближения пешеходов.

Если известна скорость сближения пешеходов, то нетрудно узнать, на сколько уменьшится расстояние между ними за 2 ч, 3 ч движения навстречу друг другу.9*2 = 18 (км) – на 18 км уменьшится расстояние между пешеходами за 2 ч.9*3 = 27 (км) - на 27 км уменьшится расстояние между пешеходами за 3 ч.

С каждым часом расстояние между пешеходами уменьшается. Наступит момент, когда они встретятся.

Пусть расстояние между А и В равно 36 км. Найдем, какое расстояние стало между пешеходами через 1 ч после их выхода из пунктов А и В через 2 ч, 3 ч, 4 ч.

Через 4 ч после выхода из пунктов А и В пешеходы встретятся.

Рассматривая встречное движение двух пешеходов, мы имели дело с такими величинами:

1). Расстояние между пунктами, из которых начинается одновременное движение;

2). Скорость сближения;

3). Время с момента начала движения до момента встречи (время движения).

Зная значение двух из этих трех величин, можно найти значение третьей величины.

В таблице записаны условия задач, которые можно составить о встречном движении двух пешеходов.

Выразим зависимость между этими величинами формулой. Обозначим через – расстояние междуи;– скорость сближения,– время с момента выхода до момента встречи.

В задачах на встречное движение чаще всего скорость сближения не дается, но ее легко можно найти по данным задачи.

Задача. Из двух пунктов А и В вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Один со скоростью 4 км в час, другой – 5 км в час. Встретились они через 3 часа. Найти расстояние между пунктами А и В.

Графическая иллюстрация задачи:

4 км в час 5 км в час

через 3 часа

Чтобы найти расстояние между пунктами иможно скорость сближения умножить на время движения, скорость сближения равна сумме скоростей пешеходов.Формула решения: =(4+5)*3;=27.

Задачи на движение не любят многие, так как зачастую недопонимают, как их решать. Но, как известно, нет ничего невозможного, и поэтому можно научиться тому, как решать задачи на движение, было бы желание.

Как решать задачи на движение: теория

Все задачи, связанные с движением решаются по одной формуле, которую вы должны знать наизусть. Вот она: S=Vt. S – это расстояние, V- скорость движения, и t – это время.

Эта формула - ключ к решению всех этих задач, а все остальное написано в тексте задачи, главное, задачу внимательно прочесть и понять.

Второй важный момент, это приведение всех данных в задаче величин к единым единицам измерения. То есть, если время дается в часах, то расстояние должно измеряться в километрах, если в секундах, то расстояние в метрах соответственно.

Решение задач

Итак, рассмотрим три основных примера на решение задач на движение.

Два объекта выехали друг за другом.

Предположим, что вам дана такая задача: из города выехал первый автомобиль со скоростью 60 км/ч, через полчаса выехал второй автомобиль со скоростью 90 км/ч. Через сколько километров, второй автомобиль догонит первый?Для решения такой задачи у нас имеется формула: t = S /(v1 - v2).Так как время нам известно, а расстояние нет, то мы ее трансформируем S= t(v1 - v2).Подставляем цифры: S=0,5(90-60), S=15 км.То есть оба автомобиля встретятся через 15 км.

Два объекта выехали в противоположенном направлении

Если вам дана задача, в которой два объекта выехали навстречу друг другу, и нужно узнать, когда они встретятся, то нужно применять следующую формулу:t = S /(v1 + v2).Например, из пункта А и Б, между которыми 43 км, ехал автомобиль со скоростью 80 км/ч, а из пункта Б в А ехал автобус со скоростью 60 км/ч. Через сколько времени они встретятся?Решение: 43/(80+60)=0,30 часа.

Два объекта выехали одновременно в одном направлении

Дана задача: из пункта А в пункт Б вышел пешеход, двигающийся со скоростью 5 км/ч, а также выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Во сколько раз велосипедист быстрее доберется из пункта А в пункт Б, если известно, что расстояние между этими пунктами 10 км.Сначала нужно найти время, за которое пешеход пройдет это расстояние. Переделываем формулу S=Vt, получаем t =S/V. Подставляем числа 10/5=2. то есть пешеход потратит на дорогу 2 часа.

Теперь высчитываем время для велосипедиста. t =S/V или 10/15=0,7 часа.Третье действие совсем уж простое, мы должны найти разность времени пешехода и человека на велосипеде. 2/0,7=2,8. Ответ таков: велосипедист доберется до пункта Б быстрее пешехода в 2,8 раза.

Таким образом, применяя эти нехитрые формулы, вы всегда будет знать, как решаются задачи на движение. Нужно только очень внимательно прочитать задачу, принять во внимание все данные, привести их в одну систему измерения, а потом уж подобрать для решения нужную формулу.

Но будьте бдительны, не обязательно, что у вашей задачи будет одно только действие, иногда, прежде чем применить наши формулы, вам придется выполнить еще ряд промежуточных действий, чтобы найти необходимые данные. Не забывайте о них, и тогда у вас непременно все получится.

Математика - довольно сложный предмет, но в школьном курсе ее придется пройти абсолютно всем. Особое затруднение у учеников вызывают задачи на движение. Как решать без проблем и массы потраченного времени, рассмотрим в данной статье.

Отметим, что если потренироваться, то эти задания не будут вызывать никаких трудностей. Процесс решения можно выработать до автоматизма.

Разновидности

Что имеется ввиду под таким типом задания? Это довольно-таки простые и нехитрые задачи, которые включают в себя следующие разновидности:

• встречное движение;
• вдогонку;
• движение в противоположном направлении;
• движение по реке.

Предлагаем каждый вариант рассмотреть в отдельности. Конечно же, разбирать будем исключительно на примерах. Но прежде, чем перейдем к вопросу, как на движение, стоит ввести одну формулу, которая будет нам необходима при решении абсолютно всех заданий этого типа.

Формула: S=V*t. Немного пояснений: S - это путь, буквой V обозначается скорость движения, а буква t означает время. Все величины можно выражать через эту формулу. Соответственно, скорость равна пути, разделенному на время, а время - это путь, поделенный на скорость.

Движение навстречу

Это самый распространенный тип задач. Чтобы понять суть решения, рассмотрим следующий пример. Условие: "Два друга на велосипедах отправились одновременно друг другу навстречу, при этом путь от одного дома до другого составляет 100 км. Каково будет расстояние через 120 минут, если известно, что скорость одного - 20 км в час, а второго - пятнадцать". Переходим к вопросу, как решить задачу на встречное движение велосипедистов.

Для этого нам необходимо ввести еще один термин: "скорость сближения". В нашем примере она будет равна 35 км в час (20 км в час + 15 км в час). Это и будет первое действие в решении задачи. Далее умножаем скорость сближения на два, так как они двигались два часа: 35*2=70 км. Мы нашли расстояние, на которое сблизятся велосипедисты через 120 минут. Осталось последнее действие: 100-70=30 километров. Этим вычислением мы нашли расстояние между велосипедистами. Ответ: 30 км.

Если вам непонятно, как решить задачу на встречное движение, используя скорость сближения, то воспользуйтесь еще одним вариантом.

Второй способ

Сначала мы находим путь, который проехал первый велосипедист: 20*2=40 километров. Теперь путь 2-го друга: пятнадцать умножаем на два, что равняется тридцати километрам. Складываем расстояние, пройденное первым и вторым велосипедистом: 40+30=70 километров. Мы узнали, какой путь преодолели они совместно, поэтому осталось из всего пути вычесть пройденный: 100-70=30 км. Ответ: 30 км.

Мы рассмотрели первый тип задачи на движение. Как решать их, теперь понятно, переходим к следующему виду.

Движение в противоположном направлении

Условие: "Из одной норки в противоположном направлении ускакали два зайца. Скорость первого - 40 км в час, а второго - 45 км в час. Как далеко они будут друг от друга через два часа?"

Здесь, как и в предыдущем примере, возможно два варианта решения. В первом мы будем действовать привычным способом:

1. Путь первого зайца: 40*2=80 км.
2. Путь второго зайца: 45*2=90 км.
3. Путь, который они прошли совместно: 80+90=170 км. Ответ: 170 км.

Но возможен и другой вариант.

Скорость удаления

Как вы уже успели догадаться, в этом задании, аналогично первому, появится новый термин. Рассмотрим следующий тип задачи на движение, как решать их с помощью скорости удаления.

Ее мы в первую очередь и найдем: 40+45=85 километров в час. Осталось выяснить, каково расстояние, разделяющее их, поскольку все остальные данные уже известны: 85*2=170 км. Ответ: 170 км. Мы рассмотрели решение задач на движение традиционным способом, а также с помощью скорости сближения и удаления.

Движение вдогонку

Давайте рассмотрим пример задачи и попробуем вместе ее решить. Условие: "Два школьника, Кирилл и Антон, ушли из школы и двигались со скоростью 50 метров в минуту. Костя вышел за ними через шесть минут со скоростью 80 метров в минуту. Через какое количество времени Костя догонит Кирилла и Антона?"

Итак, как решать задачи на движение вдогонку? Здесь нам понадобится скорость сближения. Только в этом случае стоит не складывать, а вычитать: 80-50=30 м в минуту. Вторым действием узнаем, сколько метров разделяет школьников до выхода Кости. Для этого 50*6=300 метров. Последним действием находим время, за которое Костя догонит Кирилла и Антона. Для этого путь 300 метров необходимо разделить на скорость сближения 30 метров в минуту: 300:30=10 минут. Ответ: через 10 минут.

Выводы

Исходя из сказанного ранее, можно подвести некоторые итоги:

• при решении задач на движение удобно использовать скорость сближения и удаления;
• если речь идет о встречном движении или движении друг от друга, то эти величины находятся путем сложения скоростей объектов;
• если перед нами задача на движение вдогонку, то употребляем действие, обратное сложению, то есть вычитание.

Мы рассмотрели некоторые задачи на движение, как решать, разобрались, познакомились с понятиями "скорость сближения" и "скорость удаления", осталось рассмотреть последний пункт, а именно: как решать задачи на движение по реке?

Течение

Здесь могут встречаться опять же:

• задачи на движение навстречу друг другу;
• движение вдогонку;
• движение в противоположном направлении.

Но в отличие от предыдущих задач, у реки есть скорость течения, которую не стоит игнорировать. Здесь объекты будут двигаться либо по течению реки - тогда эту скорость стоит прибавить к собственной скорости объектов, либо против течения - ее необходимо вычесть из скорости движения объекта.

Пример задачи на движение по реке

Условие: шел по течению со скоростью 120 км в час и вернулся обратно, при этом затратил время меньше на два часа, чем против течения. Какова скорость водного мотоцикла в стоячей воде?" Нам дана скорость течения, равная одному километру в час.

Переходим к решению. Предлагаем составить таблицу для наглядного примера. Примем скорость мотоцикла в стоячей воде за х, тогда скорость по течению равна х+1, а против х-1. Расстояние туда и обратно равняется 120 км. Получается, что время, затраченное на движение против течения равно 120:(х-1), а по течению 120:(х+1). При этом известно, что 120:(х-1) на два часа меньше, чем 120:(х+1). Теперь можем переходить к заполнению таблицы.

Что мы имеем: (120/(х-1))-2=120/(х+1) Домножим каждую часть на (х+1)(х-1);

120(х+1)-2(х+1)(х-1)-120(х-1)=0;

Решаем уравнение:

Замечаем, что здесь два варианта ответа: +-11, так как и -11 и +11 дают в квадрате 121. Но наш ответ будет положительным, поскольку скорость мотоцикла не может иметь отрицательного значения, следовательно, можно записать ответ: 11 км в час. Таким образом, мы нашли необходимую величину, а именно скорость в стоячей воде.

Мы рассмотрели все возможные варианты задач на движение, теперь при их решении у вас не должно возникать проблем и затруднений. Для их решения необходимо узнать основную формулу и такие понятия, как "скорость сближения и удаления". Наберитесь терпения, отработайте эти задания, и успех придет.

В задачах на движение обычно используются формулы, выражающие закон равномерного движения, т.е.

s = v · t.

При составлении уравнений в таких задачах удобно использовать геометрическую иллюстрацию процесса движения.

При движении по окружности удобно пользоваться понятием угловой скорости, т.е. угла, на который поворачивается вокруг центра движущийся объект за единицу времени. Бывает, что для усложнения задачи, ее условие формулируют в разных единицах измерения. В таких случаях для составления уравнений необходимо выразить все данные значения через одну и ту же единицу измерения.

Источником составления уравнений в задачах на движение служат следующие соображения:

1) Объекты, начавшие движение навстречу друг другу одновременно, движутся до момента встречи одинаковое время. Время, через которое они встретятся, находят по формуле

t = s/(v 1 + v 2) (*).

2) Если одно тело догоняет другое, то время, через которое первый догонит второго, вычисляется по формуле

t = s/(v 1 – v 2) (**).

3) Если объекты прошли одинаковое расстояние, то величину этого расстояния удобно принять за общее неизвестное задачи.

4) Если при одновременном движении двух объектов по окружности из одной точки, один из них догоняет в первый раз другого, то разность пройденных ими к этому моменту расстояний равна длине окружности

5) Для времени новой встречи при движении в противоположных направлениях получим формулу (*), если в одном направлении – то формулу (**).

6) При движении по течению реки скорость объекта равна сумме скоростей в стоячей воде и скорости течения. При движении против течения скорость движения есть разность этих скоростей.

Аналитическое решение задач на движение

Задача 1.

Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу и через 3 часа 20 минут встретились. Сколько времени понадобилось каждому пешеходу, чтобы пройти все расстояние, если известно, что первый пришел в пункт, из которого вышел второй, на 5 часов позже, чем второй пришел в пункт, откуда вышел первый?

Решение.

В этой задаче нет никаких данных о пройденном расстоянии. Это является ее главной особенностью. В таких случаях будет удобно принять за единицу все расстояние, тогда скорость первого пешехода будет равна
v 1 = 1/x, а второго – v 2 = 1/y, где x часов – время в пути первого, а y – время в пути второго пешеходов.

Условия задачи позволяют составить систему уравнений:

{3⅓ · 1/x + 3⅓ · 1/y = 1,
{x – y = 5.

Решая эту систему, получим, что y = 5, x = 10.

Ответ: 10 часов и 5 часов.

Задача 2.

Из пункта А в пункт В выехал велосипедист. Через 3 часа навстречу ему из пункта В выехал мотоциклист, со скоростью в 3 раза большей, чем скорость велосипедиста. Встреча велосипедиста и мотоциклиста происходит посередине, между пунктами А и В. В случае выезда мотоциклиста позже велосипедиста на 2 часа, их встреча произошла бы на 15 километров ближе а пункту А. Найти расстояние АВ.

Решение.

Сделаем иллюстрацию к задаче (рис. 1).

Пусть АВ = s км, v км/ч – скорость велосипедиста, 3v км/ч – скорость мотоциклиста.

t 1 = 0,5 s/v часов – время до встречи велосипедиста,

t 2 = 0,5 s/3v часов – время до встречи мотоциклиста.

По условию t 1 – t 2 = 3, значит 0,5 s/v – 0,5s / 3v = 3, откуда s = 9v.

Если бы мотоциклист выехал на 2 часа позже велосипедиста, то они встретились бы в точке F.

AF = 0,5s – 15, BF = 0,5s + 15.

Составим уравнение: (0,5s – 15)/v – (0,5s + 15)/3v = 2, откуда s – 60 = 6v.

Получим систему уравнений:

{s = 9v,
{s = 60 + 6v.

{v = 20,
{s = 180.

Ответ: v = 20 км/ч, s = 180 км.

Графический метод при решении задач на движение

Существует и графический метод решения заданий. Рассмотрим применение этого метода для решения задач на движение. Графическое изображение функций, описывающих условие задачи – зачастую очень удобный прием, который позволяет наглядно представить ситуацию задачи. Так же он позволяет составить новые уравнения или заменить алгебраическое решение задачи чисто геометрическим.

Задача 3.

Пешеход вышел из пункта А в пункт В. Вслед за ним из пункта А выехал велосипедист, но с задержкой в 2 часа. Еще через 30 минут по направлению к пункту В выехал мотоциклист. Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались в пункт В без остановок и равномерно. Через некоторое время после того, как выехал мотоциклист, оказалось, что к этому моменту все трое преодолели одинаковую часть пути от А до В. На сколько минут раньше пешехода велосипедист прибыл в пункт В, если мотоциклист прибыл в пункт В на 1 час раньше пешехода?

Решение.

Для алгебраического решения требуется введение многих переменных и составления громоздкой системы. Графически ситуация, описанная в задаче, представлена на рисунке 2.

Используя подобие треугольников AOL и KOM, а так же треугольников AOP и KON можно составить пропорцию:

x = 4/5 ч = 48 минут.

Ответ: 48 минут.

Задача 4.

Из двух городов навстречу друг другу одновременно вышли два посыльных. После встречи один из них был в пути еще 16 часов, а второй – 9 часов. Определить, сколько времени был в пути каждый посыльный.

Решение.

Пусть время движения до встречи каждого посыльного будет t. По условию задачи строим график (рис. 3).

Аналогично задаче 3, необходимо использовать подобие треугольников.

Значит, 12 + 16 = 28 (часов) – был в пути первый, 12 + 9 = 21 (час) – был в пути второй.

Ответ: 21 час и 28 часов.

Вот мы и разобрали основные методы решения задач на движение. В ЕГЭ они встречаются очень часто, поэтому обязательно практикуйтесь в решении данных задач.

Остались вопросы? Не знаете, как решать задачи на движение?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Одной из базовых тем в математике младших классов является "Движение и задачи на движение". Приступать к ее изучению можно после того, как усвоены основные математические действия (сложение, разность, произведение и частное), устный счет . Совсем не обязательно детям такого возраста показывать формулы, которые связывают путь, скорость и время. Как правило, дети начинают это понимать интуитивно. Конечно, эта тема подготавливает школьника к будущему изучению физики, но до этого еще очень далеко. Однако стоит обсудить с ребенком, например, реальность скоростей, которые присутствуют в решаемых задачах, спросить у школьника что движется быстрее всего, что или кто медленнее всего. Можно подобрать еще массу вопросов, которые будут совпадать с фабулой задачи.

Задача 1. В одно и тоже время друг навстречу другу из двух городов отправились два поезда. Один из них за 1/4 часа проходит 13 км, а второй за 1/3 часа проходит 16 км. Спустя 2 часа эти поезда встретились. Сколько километров между этими городами?

Задача 2. Друг навстречу другу движутся велосипедист и пешеход. На данный момент между ними расстояние 52 км. У велосипедиста скорость 9 км/ч, скорость пешехода меньше на 5 км/ч, а. Каким будет между ними расстояние по истечении 6 часов?

Задача 3. Два велосипедиста одновременно выехали из сел А и В. Между селами расстояние 117 км Велосипедисты отправились друг навстречу другу. У первого велосипедиста скорость 17 км/ч, у второго велосипедиста скорость 24 км/ч. Каким стало расстояние между велосипедистами спустя 2 часа.

Задача 4. Из некоторого города отправился поезд. Второй поезд выехал из этого же города в противоположную сторону спустя 2 часа. Когда прошло 3 часа с этого момента, дистанция между поездами стало 402 км. Скорость первого поезда на 6 км/ч меньше, чем скорость второго. Чему равны скорости поездов?

Задача 5. В одно и тоже время друг навстречу другу вылетело два самолета. Через 10 минут они отдалились на 270 км. У первого самолета скорость 15 км/мин. Какая скорость у второго самолета, если расстояние между аэродромами 540 км? В какое время второй самолет прибудет на противоположный аэродром, если он вылетел в 10 часов 15 минут?

Задача 6. В 9 часов утра из города А выехал поезд, скорость которого 67 км/ч. В тот же день в 12 часов из города В навстречу ему отправился другой поезд, его скорость 50 км/ч. По истечении 7 часов после того, как отправился второй поезд между ними оказалось 365 км. Узнайте сколько километров между городами А и В.

Задача 7. Автомобиль выехал из точки А в точку В, его скорость 65 км/ч. По истечении 2 часов из точки В ему навстречу выехал мотоцикл, его скорость 80 км/ч. На расстоянии 240 км от пункта В он встретил автомобиль. Найдите расстояние от пункта А до пункта В.

Задача 8. По шоссе едут два велосипедиста друг навстречу другу. Между ними сейчас 2700 метров, велосипедисты встретятся через 6 минут. Скорость одного больше на 50 м/мин, чем скорость другого. Определите их скорости.

Задача 9. Два автомобиля выехали одновременно друг навстречу другу. Через сколько дистанция между ними окажется равной 150 км, если первый до этого момента проедет 180 км Известно, что скорость второго в 2 раза меньше, чем скорость первого, и первый автомобиль тратит на весь путь от А до В 7 часов?

Задача 10. От одного до другого города 250 км, из этих городов друг навстречу другу в одно и тоже время отправились два мотоциклиста. Когда прошло 2 часа, оказалось, что дистанция между мотоциклистами стала 30 км. У первого мотоциклиста скорость больше на 10 км/ч, скорости второго. Найдите скорость каждого мотоциклиста.

Узнать как решить эти задачи вы можете по адресу Этот адрес электронной почты защищен от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра. . Мы с удовольствием вышлем вам все решения с методическими рекомендациями.