Простое объяснение как. Умение объяснять: как научиться понятно говорить? Разберемся в методе

Понятное объяснение – наука или искусство?
Умение объяснять считается естественной способностью человека. Оно используется в разных сферах жизни. Родители рассказывают малышам, откуда берутся дети. Учителя внедряют основы наук в головы учеников. Продавцы-консультанты продвигают товары. Руководители мотивируют подчиненных. Бизнесмены ищут инвесторов. Политики успокаивают народ. Каждого из нас хоть раз спрашивали, как пройти, просили раскрыть идею обосновать свое мнение, описать мотивы поступков или причины нарушения договоренностей.

Доходчивое устное объяснение – настоящее искусство! Многие люди уверены, что владеют им от природы. А те, кому достигнуть понимания не удалось, грешат на умственные способности партнера по общению. Между тем, психологическая наука накопила большое количество материала о том, как научиться понятно говорить. Хотите эффективно доносить свои мысли до коллег, начальника, друзей и просто незнакомых людей? Тогда, эта статья для вас.

Преимущества, которые получает индивид, приобретая умение объяснять:
- удовольствие от процесса и результата коммуникации;
- заинтересованность со стороны слушателей;
- объединение усилий единомышленников;
- воплощение своих идей, гарантированное достижение целей;
- общественное признание своих достоинств.

Большинство людей совершают распространенную ошибку, незамедлительно приступая к объяснению. Развернутая схема объяснения выглядит следующим образом: подготовка – оформление – представление. Прежде чем устное объяснение начнет безошибочно попадать в цель с первого раза, придется последовательно освоить три этапа. Потребуются определенные усилия.
Схему удобно применять при планировании предстоящей коммуникации и для анализа уже свершившегося акта. Воспроизведите в памяти случай, когда вы кого-то убеждали. Проследите, была ли проведена оптимальная подготовка? Как были оформлены мысли? Какие способы презентации использованы? Для новичков, интересующихся, как научиться понятно говорить, разделение объяснительного процесса на этапы упростит задачу. Считаете себя гением общения? Схема объяснения поможет убедиться, что реализованы все потенциальные возможности.

После того, как усвоятся и отработаются способы объяснения, произойдет автоматизация навыка. Сократиться уровень сознательного контроля. Первый этап мозг будет осуществлять интуитивно за несколько секунд. Приемы для второй ступени начнут складываться сами собой, из воздуха. А окружающим будет казаться, что вы легко и креативно сразу, на пустом месте приступаете непосредственно к презентации.

Готовим понятное объяснение
Попытавшись определить суть процесса, обнаруживаешь, что объяснение - некоторое действие, в результате которого у партнера возникает понимание. Но что именно нужно делать? Отложим словари и учебники. Представим, что понятное объяснение – румяные вкусные пирожки. Перед тем как покушать, их нужно приготовить. Причем, приготовить так, чтобы хотелось съесть. В первую очередь необходимо выбрать тесто и начинку.
Тесто – внешняя оболочка - слова, фразы и выражения, которые мы используем. Чтобы тесто получилось легким, пышным и хорошо усваивалось, подбирая способы объяснения, важно четко обозначить целевую аудиторию. Кого вы планируете накормить? Если это один человек, оцените его жизненный опыт, уровень образования, род занятий, круг интересов. Проанализируйте его эмоциональное состояние, степень утомления. Предположите, готов ли он к неожиданным поворотам, как отреагирует на те, или иные подходы к объяснению.

Решили убедить сразу группу людей? Помимо перечисленных моментов учтите особенности межличностных отношений. При групповом взаимодействии люди склонны отмалчиваться, скрывать свое личное мнение, подчинятся влиянию лидера или большинства. Другие, наоборот, чувствуя поддержку группы, могут вести себя более агрессивно, бурно реагировать на вполне нейтральные предложения, сопротивляться нововведениям.
Хочешь дать понятное объяснение – учись ставить себя на место другого человека. Определившись с тестом, обратим внимание на начинку. Она должна не только соответствовать вкусам едоков, но и наиболее полно удовлетворять их потребности. Если люди сильно голодны, начинке следует быть сытной. Если народ жаждет новых впечатлений – добавляются необычные ингредиенты. Подходы к объяснению сортируются по тому же принципу.

Что конкретно должны усвоить слушатели? Понятное объяснение отвечает на один или несколько вопросов:

Цель объяснения связана не только с пониманием. Умение объяснять помогает вызывать нужные эмоции, формировать отношение, мотивировать на определенные действия. Хотите вызвать жалость – начинайте оправдываться. Желаете вдохновить – демонстрируйте положительные примеры. Но для начала, определитесь, какой эффект вы рассчитываете произвести.

Почему устное объяснение терпит неудачу?
В повседневном общении мы часто пускаемся в объяснения без всякой подготовки. На нее просто нет времени. Разгневанный начальник, требовательные клиенты, недовольные близкие и любопытные детишки не дадут вам возможности спокойно собраться с мыслями. Кое-как сляпанные пирожки получаются несъедобными и плохо перевариваются.

Типичные промахи, допускаемые неподготовленным оратором:
- Полная идентификация. Объясняющий считает окружающих похожими на себя, предполагает, что людям понравятся именно его любимые пирожки. А это далеко не так. Даже сугубо профессиональная аудитория состоит из людей с разной мотивацией, ценностными установками и стереотипами. По себе людей не судят.

- Проклятие знания. Объясняющий хорошо знает предмет. Ему трудно увидеть, чего можно не знать. А те, кому объясняют, не хотят показаться глупыми. Вопросов не задают, но глаза пустые. В итоге объяснение состоялось, а понимание – нет. Выступающий доволен собой. А зрители недоуменно пожимают плечами.

Ошибки презентации. Приготовившись давать понятное объяснение, оратор внутренне собирается, его лицо становиться сосредоточенным, голос сухим и строгим. У многих присутствующих в памяти всплывают школьные ассоциации. Зритель понимают, что сейчас начнет происходить что-то важное и, вероятно, весьма скучное. Хорошая презентация запоминается, а неудачная - отбивает желание.

Недостаточное понимание. Нередко кто-то берется объяснять то, чего сам до конца не понимает. Есть индивиды, считающие себя экспертами в любой области. Прочитав о чем-то в социальных сетях, готовы приседать на уши всем и каждому. В процессе объяснения некомпетентность обнаруживается достаточно быстро. Для того, чтобы аргументировать свою позицию, необходимо иметь большой личный опыт или черпать информацию из достоверных источников.

Неоправданные ожидания. Даже доступное устное объяснение терпит фиаско, если объясняющий говорит не о том. Например, начальник подробно разжевывает подчиненным алгоритм выполнения задачи, а те пытаются понять, какую премию получат за выполнение. Или учитель произносит перед родителями пламенную речь о значимости патриотического воспитания, и ни слова не упоминает о методах его осуществления. Родители требуют от ребенка соблюдения определенных правил, не объяснив толком, почему нужно поступать именно так, и что будет «если…».

Тестируем разные способы объяснения
Повторим еще раз, прежде чем начинать устное объяснение, определите желаемый результат и ненавязчиво прощупайте аудиторию. Уяснив, с кем и о чем вести беседу, рассмотрим, КАК реализовать запланированное. Привлекательное оформление идеи – следующий пункт назначения для субъекта, решившего освоить умение объяснять.

Предлагаем простые и эффективные приемы, позволяющие научиться понятно говорить:

Речь в лифте. Вообразите, что вы и человек, которому адресовано объяснение, едете в лифте. Вам нужно успеть изложить суть своего предложения за 30-60 секунд (50-100 слов). Учитесь начинать с главного, излагать самое основное. Максимально отжимайте воду, откажитесь от ненужных подробностей, опирайтесь на факты. При этом сообщение должно остаться образным и интересным.

- Объяснение для шестилетки. Тренируйтесь менять способы объяснения в зависимости от контекста взаимодействия, рассматривайте проблему с разных точек зрения. Опишите свою идею так, чтобы стало понятно маленькому ребенку, вашей бабушке и признанному эксперту в этом вопросе. Используйте простые слова, приводите примеры, проводите аналогии, вызывайте нужные ассоциации, устанавливайте связи с имеющимся у слушателей опытом.

Презентация на салфетке. Попробуйте схематично изобразить свою идею на листе бумаги размером с салфетку. Если не получиться с первого раза, создайте максимально подробное описание на доске или ватмане. Затем сократите площадь в два раза и перенесите самое основное. Повторите эту операцию несколько раз. Привлекайте графики, диаграммы, оси времени и координатную сетку. Ограничения подталкивают к творчеству.

Визуальная форма. Чтобы сделать устное объяснение более доступным, опирайтесь на возможности визуального мышления. Сопровождайте рассуждение зарисовыванием основных моментов, подбирайте готовые изображения. Оперируя информацией, содержащей имя или название, рисуем «портрет» - рожицу, человечка, простое условное обозначение предмета. Далее чертим стрелки, линии, фигуры, объединяющие скобки, чтобы показать изменения объекта, его связи с прочими элементами.

Захватывающая история. Подходящая история помогает уловить смысл объяснения т.к. в ней факты преподносятся через призму личного опыта. Хорошо, если у вас в запасе есть реальный случай из жизни, история, услышанная от кого-то из знакомых или интересные факты биографии знаменитостей. С целью привлекательного оформления своего объяснения, вы можете придумать правдоподобный рассказ, в котором главный герой испытывает определенные трудности и находит способ их преодолеть. А в качестве этого способа и будет описан ваш концепт.

Всеобщее братство. Объединяйте людей и идеи. Создавайте ощущение согласия. Вызывайте у аудитории чувство общности при помощи местоимения «Мы»: «Мы знаем», «Мы понимаем», «Мы хотим», «Мы согласны» и т.д. Покажите присутствующим, что они часть команды, решающей общую задачу. Вселяйте в людей уверенность в том, что вы рассказываете о понятных и интересных вещах.

Пробуйте перечисленные способы объяснения в профессиональной деятельности и повседневном общении. Пусть перспективные задумки, правильно оформленные и адекватно представленные, разлетаются как горячие пирожки.

Подробно теорема Байеса излагается в отдельной статье . Это замечательная работа, но в ней 15 000 слов. В этом же переводе статьи от Kalid Azad кратко объясняется самая суть теоремы.

• Результаты исследований и испытаний – это не события. Существует метод диагностики рака, а есть само событие - наличие заболевания. Алгоритм проверяет, содержит ли письмо спам, но событие (на почту действительно пришел спам) нужно рассматривать отдельно от результата его работы.
• В результатах испытаний бывают ошибки. Часто наши методы исследований выявляют то, чего нет (ложноположительный результат), и не выявляют то, что есть (ложноотрицательный результат).
• С помощью испытаний мы получаем вероятности определенного исхода. Мы слишком часто рассматриваем результаты испытания сами по себе и не учитываем ошибки метода.
• Ложноположительные результаты искажают картину. Предположим, что вы пытаетесь выявить какой-то очень редкий феномен (1 случай на 1000000). Даже если ваш метод точен, вероятнее всего, его положительный результат будет на самом деле ложноположительным.
• Работать удобнее с натуральными числами. Лучше сказать: 100 из 10000, а не 1%. При таком подходе будет меньше ошибок, особенно при умножении. Допустим, нам нужно дальше работать с этим 1%. Рассуждения в процентах неуклюжи: «в 80% случаев из 1% получили положительный исход». Гораздо легче информация воспринимается так: «в 80 случаях из 100 наблюдали положительный исход».
• Даже в науке любой факт - это всего лишь результат применения какого-либо метода. С философской точки зрения научный эксперимент – это всего лишь испытание с вероятной ошибкой. Есть метод, выявляющий химическое вещество или какой-нибудь феномен, и есть само событие - присутствие этого феномена. Наши методы испытаний могут дать ложный результат, а любое оборудование обладает присущей ему ошибкой.

• Если нам известна вероятность события и вероятность ложноположительных и ложноотрицательных результатов, мы можем исправить ошибки измерений.
• Теорема соотносит вероятность события с вероятностью определенного исхода. Мы можем соотнести Pr(A|X): вероятность события А, если дан исход X, и Pr(X|A): вероятность исхода X, если дано событие А.

Разберемся в методе

• 1% всех женщин болеют раком груди (и, соответственно, 99% не болеют)
• 80% маммограмм выявляют заболевание, когда оно действительно есть (и, соответственно, 20% не выявляют)
• 9,6% исследований выявляют рак, когда его нет (и, соответственно, 90,4% верно определяют отрицательный результат)

• 1% женщин болеют раком груди
• если у пациентки выявили заболевание, смотрим в первую колонку: есть 80% вероятность того, что метод дал верный результат, и 20% вероятность того, что результат исследования неправильный (ложноотрицательный)
• если у пациентки заболевание не выявили, смотрим на вторую колонку. С вероятностью 9,6% можно сказать, что положительный результат исследования неверен, и с 90,4% вероятностью можно сказать, что пациентка действительно здорова.

Насколько метод точен?

Давайте подумаем:

• Есть положительный результат. Разберем все возможные исходы: полученный результат может быть как истинным положительным, так и ложноположительным.
• Вероятность истинного положительного результата равна: вероятность заболеть, умноженная на вероятность того, что тест действительно выявил заболевание. 1% * 80% = .008
• Вероятность ложноположительного результата равна: вероятность того, что заболевания нет, умноженная на вероятность того, что метод выявил заболевание неверно. 99% * 9.6% = .09504

Вероятность события = исходы события / все возможные исходы

Вероятность истинного положительного результата – .008. Вероятность положительного результата - это вероятность истинного положительного исхода + вероятность ложноположительного.

(.008 + 0.09504 = .10304)

Итак, вероятность заболевания при положительном результате исследования рассчитывается так: .008/.10304 = 0.0776. Эта величина составляет около 7.8%.

То есть положительный результат маммограммы значит только то, что вероятность наличия заболевания – 7,8%, а не 80% (последняя величина - это лишь предполагаемая точность метода). Такой результат кажется поначалу непонятным и странным, но нужно учесть: метод дает ложноположительный результат в 9,6% случаев (а это довольно много), поэтому в выборке будет много ложноположительных результатов. Для редкого заболевания большинство положительных результатов будут ложноположительными.

Давайте пробежимся глазами по таблице и попробуем интуитивно ухватить смысл теоремы. Если у нас есть 100 человек, только у одного из них есть заболевание (1%). У этого человека с 80% вероятностью метод даст положительный результат. Из оставшихся 99% у 10% будут положительные результаты, что дает нам, грубо говоря, 10 ложноположительных исходов из 100. Если мы рассмотрим все положительные результаты, то только 1 из 11 будет верным. Таким образом, если получен положительный результат, вероятность заболевания составляет 1/11.

Выше мы посчитали, что эта вероятность равна 7,8%, т.е. число на самом деле ближе к 1/13, однако здесь с помощью простого рассуждения нам удалось найти приблизительную оценку без калькулятора.

Теорема Байеса

• Pr(A|X) = вероятность заболевания (А) при положительном результате (X). Это как раз то, что мы хотим знать: какова вероятность события в случае положительного исхода. В нашем примере она равна 7,8%.
• Pr(X|A) = вероятность положительного результата (X) в случае, когда больной действительно болен (А). В нашем случае это величина истинных положительных – 80%
• Pr(A) = вероятность заболеть (1%)
• Pr(not A) = вероятность не заболеть (99%)
• Pr(X|not A) = вероятность положительного исхода исследования в случае, если заболевания нет. Это величина ложноположительных – 9,6 %.

В нашем примере Pr(X) – довольно большое число, потому что велика вероятность ложноположительных результатов.

Pr(X) создает результат 7,8%, который на первый взгляд кажется противоречащим здравому смыслу.

Смысл теоремы

Спам-фильтр

У нас есть:

• событие А - в письме спам
• результат испытания - содержание в письме определенных слов:

Фильтр спама на основе черного списка обладает недостатками - он часто выдает ложноположительные результаты.

Спам-фильтр на основе теоремы Байеса использует взвешенный и разумный подход: он работает с вероятностями. Когда мы анализируем слова в письме, мы можем рассчитать вероятность того, что письмо - это спам, а не принимать решения по типу «да/нет». Если вероятность того, что письмо содержит спам, равна 99%, то письмо и вправду является таковым.

Со временем фильтр тренируется на все большей выборке и обновляет вероятности. Так, продвинутые фильтры, созданные на основе теоремы Байеса, проверяют множество слов подряд и используют их в качестве данных.

Дополнительные источники:

Теги: Добавить метки

Каждый из нас в течение дня сталкивается с тем, что его неправильно или не до конца поняли. Самое печальное, что в большинстве случаев виновники этому мы сами. Там говорили с набитым ртом, там вместо того, чтобы показать на карте, начали рассказывать схему проезда. Эйнштейн говорил: «Просто объяснить сложное сложно. Сложно объяснить сложное просто ». Прикладывая немного усилий в объяснениях, мы можем улучшить результат коммуникаций в десятки раз.

Следите за тем, как вас слышно . Первая из популярных причин непонимания друг друга — это плохая слышимость. Основания этому: плохая дикция, шумное место или плохая телефонная связь. А если собеседник еще и разговаривает со скоростью пулемета, то понять его просто невозможно.

Говорите на одном языке . Убедитесь, что все используемые слова и вы, и собеседник понимаете одинаково. Представьте, что вы поехали к родственникам за полторы тысяч километров и вас просят: «Принеси венчик». Что это веник, вино или …? Кстати, 90% споров могут быть потушены одной фразой: «Мы спорим потому, что не договорились о терминах. Давайте их обсудим ».

Творите образы . Мало использовать одни и те же слова. Нужно, чтобы они создавали в голове каждого из нас одинаковые образы. Вот какой образ у вас возникает на фразу «сообразительный человек»? Наверно, это кто-то из ваших знакомых, который легко понимает ваши мысли. Все дело в том, что слово сообразительный означает того человека, который представляет образы соответственные тем, которые вы излагаете.

Проводите аналогии . Очень часто полезно выйти за рамки темы разговора. Взяв из опыта собеседника схожую ситуацию, можно легко объяснить сложную тему. Например, сисадмины очень часто жалуются на непонимание бухгалтерами основ компьютерных сетей. После проведения аналогии общение людей и взаимодействие компьютеров такая проблема отпадает. Сервер – бабушка сплетница на лавочке, информация – слухи. Теперь сервер будут беречь как зеницу ока, и спрячут в случае проверки из органов.

Рисуйте . Почти любую сложную вещь можно нарисовать. Если сложность заключается в логической взаимосвязи объектов, то можно воспользоваться кругами Эйлера . Если же дело в том, что составных частей столь много, что начинаешь в них путаться сам, то можно воспользоваться майндмэппингом . Вот пример рисунка, который показывает, каким занятиям стоит уделять больше всего внимания:

Задавайте уточняющие вопросы . Мало объяснить, стоит еще и проконтролировать, что тебя правильно поняли. А в идеале записали. Вы ведь догадались, как называется пересечения кругов «Что я люблю делать» и «Что у меня получается», но за что не платят?

Если разъяснять этот вопрос максимально просто, то можно привести в качестве примера следующий рассказ:

Однажды очень старый человек вышел из мечети и тяжело ступая, отправился домой. Его тут же обступили бедняки, знавшие о его благочестии и религиозности, и стали кричать наперебой: «Хаджибаба, да вознаградит тебя Аллах, помоги нам». Хаджибаба повернулся к этим беднякам и сказал: «Пойдите к моему сыну бакалейщику, пусть он даст вам, что ни будь для приготовления похлебки, и накормите свои семьи».

Бедняки очень обрадовались этому, и придя в бакалейную лавку передали ее хозяину слова старика. Хозяин лавки был очень послушным сыном, и до этого дня он ни разу не ослушался своего отца. Каждому из бедняков он насыпал крупы в бумажные кульки, после чего вежливо проводил их. Довольные бедняки отправились по домам, и по дороге открыли свои кульки. Каждый из них с радостью воскликнул: «У меня в кульке рис», «а у меня вермишель», «а мне положили шарики из муки и простокваши», «а у меня чечевица».

Эти четверо бедняков не помня себя от радости, поспешили домой, прижимая к себе эти кульки, и по дороге встретили одного плохого человека. Они рассказали этому человеку о случившемся. Он не смог перенести их радости, и сказал им: «Немедленно отправляйтесь к Хаджибаба и скажите ему: «Твой сын не выполнил твоего приказа. Одному из нас он дал рис, а другому чечевицу. Он поступил исходя из своей прихоти. Тогда как ты приказал дать один вид продуктов, он не послушался тебя». Сначала бедняки не придали значения словам этого человека, но затем у них появились сомнения, и они все вместе отправились во двор мечети, ждать появления старика.

Увидев старика, они подошли к нему и сказали: «Твой сын выполнил твое поручение, но он поступил не в соответствии с твоим приказом, а по своему усмотрению. Услышав это от бедняков, старик очень расстроился, но взяв себя в руки, сказал: «Ну что же, сейчас мы это проверим. Но мой сын еще ни разу меня не ослушался».

Когда они все вместе вошли в бакалейную лавку, старик спросил у своего сына: «Сынок, почему давая продукты этим людям, ты поступил по своему усмотрению, а не так как я тебе приказал?». Сын ответил дрожащим голосом: «Ни в коем случае отец. Я не нарушал твоих повелений до сегодняшнего дня, не нарушу их и после». Отец сказал: «Но эти люди пожаловались мне, что ты действовал по собственной прихоти, и каждому из них дал разные виды продуктов». Сын сказал: «Нет, отец, я не ослушался вас.

Вы приказали дать каждому из них, что ни будь для приготовления похлебки, я так и сделал. Каждому из них я дал те продукты, из которых готовят похлебку. Разве я кому-то из них дал кабачки, сыр, фасоль или йогурт? Нет. Так как из этих продуктов не готовят похлебку. Все продукты, которые я им дал, относятся к категории пригодных для приготовления похлебки».

Услышав это объяснение, отец похвалил своего сына, а бедняки извинились, признав свою неправоту.

Именно так и возникли мазхабы. По причине того, что одно слово имело несколько значений. Как выражение «что ни будь для приготовления похлебки» подразумевает собой рис, чечевицу и прочие продукты, так и некоторые слова, упоминаемые в Коране или хадисах, имеют несколько значений. И имамы мазхабов отдавали предпочтение тому или иному, значению этих слов, и каждое из этих значений является правильным и уместным. Благодаря этим предпочтениям и появились мазхабы. Таким образом, возникновение разных мазхабов, является весьма логичным.

Пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции, так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала - самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a , то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A , к которому стремится функция при х , стремящемся к определенной точке а . Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Lim - от английского limit - предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача - найти предел.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Кстати, если Вас интересуют , читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х . Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность . Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел:

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Еще один вид неопределенностей: 0/0

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Сократим и получим:

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Налицо типичная неопределенность 0/0 . Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос "как решать пределы в высшей математике". Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.