Что называется плоским изгибом. Архив рубрики: Задачи на изгиб. Внутренние силовые факторы при изгибе балки
Расчет балки на изгиб «вручную», по-дедовски, позволяет познать один из важнейших, красивейших, четко математически выверенных алгоритмов науки сопротивление материалов. Использование многочисленных программ типа «ввел исходные данные...
...– получи ответ» позволяет современному инженеру сегодня работать гораздо быстрее, чем его предшественникам сто, пятьдесят и даже двадцать лет назад. Однако при таком современном подходе инженер вынужден полностью доверять авторам программы и со временем перестает «ощущать физический смысл» расчетов. Но авторы программы – это люди, а людям свойственно ошибаться. Если бы это было не так, то не было бы многочисленных патчей, релизов, «заплаток» практически к любому программному обеспечению. Поэтому, мне кажется, любой инженер должен уметь иногда «вручную» проверить результаты расчетов.
Справка (шпаргалка, памятка) для расчётов балок на изгиб представлена ниже на рисунке.
Давайте на простом житейском примере попробуем ей воспользоваться. Допустим, я решил сделать в квартире турник. Определено место – коридор шириной один метр двадцать сантиметров. На противоположных стенах на необходимой высоте напротив друг друга надежно закрепляю кронштейны, к которым будет крепиться балка-перекладина – пруток из стали Ст3 с наружным диаметром тридцать два миллиметра. Выдержит ли эта балка мой вес плюс дополнительные динамические нагрузки, которые возникнут при выполнении упражнений?
Чертим схему для расчета балки на изгиб. Очевидно, что наиболее опасной будет схема приложения внешней нагрузки, когда я начну подтягиваться, зацепившись одной рукой за середину перекладины.
Исходные данные:
F1 = 900 н – сила, действующая на балку (мой вес) без учета динамики
d = 32 мм – наружный диаметр прутка, из которого сделана балка
E = 206000 н/мм^2 — модуль упругости материала балки стали Ст3
[σи] = 250 н/мм^2 — допустимые напряжения изгиба (предел текучести) для материала балки стали Ст3
Граничные условия:
Мx (0) = 0 н*м – момент в точке z = 0 м (первая опора)
Мx (1,2) = 0 н*м– момент в точке z = 1,2 м (вторая опора)
V (0) = 0 мм – прогиб в точке z = 0 м (первая опора)
V (1,2) = 0 мм – прогиб в точке z = 1,2 м (вторая опора)
Расчет:
1. Для начала вычислим момент инерции Ix и момент сопротивления Wx сечения балки. Они нам пригодятся в дальнейших расчетах. Для кругового сечения (каковым является сечение прутка):
Ix = (π*d^4)/64 = (3.14*(32/10)^4)/64 = 5,147 см^4
Wx = (π*d^3)/32 = ((3.14*(32/10)^3)/32) = 3,217 см^3
2. Составляем уравнения равновесия для вычисления реакций опор R1 и R2:
Qy = -R1+F1-R2 = 0
Мx (0) = F1*(0-b2) -R2*(0-b3) = 0
Из второго уравнения: R2 = F1*b2/b3 = 900*0.6/1.2 = 450 н
Из первого уравнения: R1 = F1-R2 = 900-450 = 450 н
3. Найдем угол поворота балки в первой опоре при z = 0 из уравнения прогиба для второго участка:
V (1.2) = V (0)+U (0)*1.2+(-R1*((1.2-b1)^3)/6+F1*((1.2-b2)^3)/6)/
U (0) = (R1*((1.2-b1)^3)/6 -F1*((1.2-b2)^3)/6)/(E*Ix)/1,2 =
= (450*((1.2-0)^3)/6 -900*((1.2-0.6)^3)/6)/
/(206000*5,147/100)/1,2 = 0,00764 рад = 0,44˚
4.
Составляем уравнения для построения эпюр для первого участка (0 Поперечная сила: Qy (z) = -R1 Изгибающий момент: Мx (z) = -R1*(z-b1) Угол поворота: Ux (z) = U (0)+(-R1*((z-b1)^2)/2)/(E*Ix) Прогиб: Vy (z) = V (0)+U (0)*z+(-R1*((z-b1)^3)/6)/(E*Ix) z = 0 м:
Qy (0) = -R1 = -450 н Ux (0) = U (0) = 0,00764 рад Vy (0) = V (0) = 0 мм z = 0,6 м:
Qy (0,6) = -R1 = -450 н Мx (0,6) = -R1*(0,6-b1) = -450*(0,6-0) = -270 н*м Ux (0,6) = U (0)+(-R1*((0,6-b1)^2)/2)/(E*Ix) = 0,00764+(-450*((0,6-0)^2)/2)/(206000*5,147/100) = 0 рад Vy (0,6) = V (0)+U (0)*0,6+(-R1*((0,6-b1)^3)/6)/(E*Ix) = 0+0,00764*0,6+(-450*((0,6-0)^3)/6)/ (206000*5,147/100) = 0,003 м Балка прогнется по центру на 3 мм под тяжестью моего тела. Думаю, это приемлемый прогиб. 5.
Пишем уравнения эпюр для второго участка (b2 Поперечная сила: Qy (z) = -R1+F1 Изгибающий момент: Мx (z) = -R1*(z-b1)+F1*(z-b2) Угол поворота: Ux (z) = U (0)+(-R1*((z-b1)^2)/2+F1*((z-b2)^2)/2)/(E*Ix) Прогиб: Vy (z) = V (0)+U (0)*z+(-R1*((z-b1)^3)/6+F1*((z-b2)^3)/6)/(E*Ix) z = 1,2 м:
Qy (1,2) = -R1+F1 = -450+900 = 450 н Мx (1,2) = 0 н*м Ux (1,2) = U (0)+(-R1*((1,2-b1)^2)/2+F1*((1,2-b2)^2)/2)/(E*Ix) = 0,00764+(-450*((1,2-0)^2)/2+900*((1,2-0,6)^2)/2)/ /(206000*5,147/100) = -0.00764 рад Vy (1,2) = V (1,2) = 0 м 6.
Строим эпюры, используя данные полученные выше. 7.
Рассчитываем напряжения изгиба в наиболее нагруженном сечении – посередине балки и сравниваем с допустимыми напряжениями: σи = Mx max/Wx = (270*1000)/(3,217*1000) = 84 н/мм^2 σи = 84 н/мм^2 < [σи] = 250 н/мм^2 По прочности на изгиб расчет показал трехкратный запас прочности – турник можно смело делать из имеющегося прутка диаметром тридцать два миллиметра и длиной тысяча двести миллиметров. Таким образом, вы теперь легко можете произвести расчет балки на изгиб «вручную» и сравнить с результатами, полученными при расчете по любой из многочисленных программ, представленных в Сети. Прошу УВАЖАЮЩИХ
труд автора ПОДПИСАТЬСЯ
на анонсы статей.
88 комментариев на «Расчет балки на изгиб — «вручную»!»
Задача.
Построить эпюры Q и M для статически неопределимой балки.
Вычислим балки по формуле: n
= ΣR
- Ш
— 3 = 4 — 0 — 3 = 1
Балка один раз
статически неопределима, значит одна
из реакций является «лишней» неизвестной
. За «лишнюю» неизвестную примем реакцию опоры В
— R В
.
Статически определимая балка, которая получается из заданной путем удаления «лишней» связи называется основной системой
(б).
Теперь эту систему следует представить эквивалентной
заданной. Для этого загружаем основную систему заданной
нагрузкой, а в точке В
приложим «лишнюю» реакцию R В
(рис.в
).
Однако для эквивалентности
этого недостаточно
, поскольку в такой балке точка В
может перемещаться по вертикали
, а в заданной балке (рис.а
) такого произойти не может. Поэтому добавляем условие
, что прогиб т. В
в основной системе должен быть равен 0
. Прогиб т. В
складывается из прогиба от действующей нагрузки Δ F
и от прогиба от «лишней» реакции Δ R .
Тогда составляем условие совместности перемещений
: Δ F
+ Δ R
=0
(1)
Теперь остается вычислить эти перемещения (прогибы
). Загружаем основную
систему заданной нагрузкой
(рис.г)
и построим грузовую эпюру
М F
(рис. д
). В т.В
приложим и построим эп. (рис.е,ж
). По формуле Симпсона определим прогиб от действующей нагрузки
. Теперь определим прогиб от действия «лишней» реакции R В
, для этого загружаем основную систему R В
(рис.з
) и строим эпюру моментов от ее действия М R
(рис. и
). Составляем и решаем уравнение (1)
: Построим эп. Q
и М
(рис. к,л
). Строим эпюру Q.
Построим эпюру М
методом характерных точек
. Расставляем точки на балке — это точки начала и конца балки (D,A
), сосредоточенного момента (B
), а также отметим в качестве характерной точки середину равномерно распределенной нагрузки (K
) — это дополнительная точка для построения параболической кривой. Определяем изгибающие моменты в точках. Правило знаков
см. — . Момент в т. В
будем определять следующим образом. Сначала определим: Точку К
возьмем в середине
участка с равномерно распределенной нагрузкой. Строим эпюру M
. Участок АВ
– параболическая кривая
(правило «зонтика»), участок ВD
– прямая наклонная линия
. Для балки определить опорные реакции и построить эпюры изгибающих моментов (М
) и поперечных сил (Q
).
Составляем уравнения равновесия
. Проверка
Записываем значения R А
и R В
на расчетную схему
. 2. Построение эпюры поперечных сил
методом сечений
. Сечения расставляем на характерных участках
(между изменениями). По размерной нитке – 4 участка, 4 сечения
. сеч. 1-1
ход
слева
. Сечение проходит по участку с равномерно распределенной нагрузкой
, отмечаем размер z
1
влево от сечения до начала участка
. Длина участка 2 м. Правило знаков
для Q
— см. Строим по найденным значением эпюру
Q
.
сеч. 2-2 ход справа
. Сечение вновь проходит по участку равномерно распределенной нагрузкой, отмечаем размер z
2
вправо от сечения до начала участка. Длина участка 6 м. Строим эпюру Q
.
сеч. 3-3 ход справа
. сеч. 4-4 ход справа.
Строим эпюру
Q
.
3. Построение эпюры М
методом характерных точек
. Характерная точка
– точка, сколь-либо заметная на балке. Это точки А
, В
, С
, D
, а также точка К
, в которой Q
=0
и изгибающий момент имеет экстремум
. Также в середине
консоли поставим дополнительную точку Е
, поскольку на этом участке под равномерно распределенной нагрузкой эпюра М
описывается кривой
линией, а она строится, как минимум, по 3
точкам. Итак, точки расставлены, приступаем к определению в них значений изгибающих моментов
. Правило знаков — см.
. Участки NA, AD
– параболическая кривая
(правило «зонтика» у механических специальностей или «правило паруса» у строительных), участки DС, СВ
– прямые наклонные линии.
Момент в точке D
следует определять как слева, так и справа
от точки D
. Сам момент в эти выражения не входит
. В точке D
получим два
значения с разницей
на величину m
– скачок
на его величину. Теперь следует определить момент в точке К
(Q
=0). Однако сначала определим положение точки К
, обозначив расстояние от нее до начала участка неизвестным х
. Т. К
принадлежит второму
характерному участку, его уравнение для поперечной силы
(см. выше) Но поперечная сила в т. К
равна 0
, а z
2
равняется неизвестному х
. Получаем уравнение: Теперь, зная х
,
определим момент в точке К
с правой стороны. Строим эпюру М
. Построение выполним для механических
специальностей, откладывая положительные значения вверх
от нулевой линии и используя правило «зонтика». Для заданной схемы консольной балки требуется построить эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента M, выполнить проектировочный расчет, подобрав круглое сечение.
Материал — дерево, расчетное сопротивление материала R=10МПа, М=14кН·м,q=8кН/м
Строить эпюры в консольной балке с жесткой заделкой можно двумя способами — обычным, предварительно определив опорные реакции, и без определения опорных реакций, если рассматривать участки, идя от свободного конца балки и отбрасывая левую часть с заделкой. Построим эпюры обычным
способом. 1. Определим опорные реакции
. Равномерно распределенную нагрузку q
заменим условной силой Q= q·0,84=6,72 кН
В жесткой заделке три опорные реакции — вертикальная, горизонтальная и момент, в нашем случае горизонтальная реакция равна 0. Найдем вертикальную
реакцию опоры R A
и опорный момент
М
A
из уравнений равновесия. На первых двух участках справа поперечная сила отсутствует. В начале участка с равномерно распределенной нагрузкой (справа) Q=0
, в заделеке — величине реакции R A.
Решаем уравнение (1), сокращаем на EI Статическая неопределимость раскрыта
, значение «лишней» реакции найдено. Можно приступать к построению эпюр Q и M для статически неопределимой балки... Зарисовываем заданную схему балки и указываем величину реакции R b
. В данной балке реакции в заделке можно не определять, если идти ходом справа. Построение эпюры Q
для статически неопределимой балки Строим эпюру Q.
Построение эпюры М
Определим М в точке экстремума – в точке К
. Сначала определим её положение. Обозначим расстояние до неё как неизвестное «х
». Тогда Строим эпюру М.
Определение касательных напряжений в двутавровом сечении
. Рассмотрим сечение двутавра. S x =96,9 см 3 ; Yх=2030 см 4 ; Q=200 кН
Для определения касательного напряжения применяется формула
Вычислим максимальное
касательное напряжение: Вычислим статический момент для верхней полки: Теперь вычислим касательные напряжения: Строим эпюру касательных напряжений:
Проектный и проверочный расчеты. Для балки с построенными эпюрами внутренних усилий подобрать сечение в виде двух швеллеров из условия прочности по нормальным напряжениям. Проверить прочность балки, используя условие прочности по касательным напряжениям и энергетический критерий прочности. Дано:
Покажем балку с построенными эпюрами Q и М Согласно эпюре изгибающих моментов опасным является сечение С,
в котором М С =М max =48,3кНм.
Условие прочности по нормальным напряжениям
для данной балки имеет вид σ max =M C /W X ≤σ adm .
Требуется подобрать сечение из двух швеллеров.
Для сечения в виде двух швеллеров согласно принимаем два швеллера №20а
, момент инерции каждого швеллера I x =1670см 4
, тогда осевой момент сопротивления всего сечения:
Перенапряжение (недонапряжение)
в опасных точках посчитаем по формуле: Тогда получим недонапряжение
: Теперь проверим прочность балки, исходя из условия прочности по касательным напряжениям.
Согласно эпюре поперечных сил
опасными
являются сечения на участке ВС и сечение D.
Как видно из эпюры, Q max =48,9 кН.
Условие прочности по касательным напряжениям
имеет вид: Для швеллера №20 а: статический момент площади S x 1 =95,9 см 3 , момент инерции сечения I x 1 =1670 см 4 , толщина стенки d 1 =5,2 мм, средняя толщина полки t 1 =9,7 мм, высота швеллера h 1 =20 см, ширина полки b 1 =8 см.
Для поперечного сечения из двух швеллеров:
S x = 2S x 1 =2·95,9=191,8 см 3 ,
I x =2I x 1 =2·1670=3340 см 4 ,
b=2d 1 =2·0,52=1,04 см.
Определяем значение максимального касательного напряжения:
τ max =48,9·10 3 ·191,8·10 −6 /3340·10 −8 ·1,04·10 −2 =27МПа.
Как видно, τ max <τ adm
(27МПа<75МПа). Следовательно, условие прочности выполняется.
Проверяем прочность балки по энергетическому критерию
. Из рассмотрения эпюр Q и М
следует, что опасным является сечение С,
в котором действуют M C =M max =48,3 кНм и Q C =Q max =48,9 кН.
Проведем анализ напряженного состояния в точках сечения С
Определим нормальные и касательные напряжения
на нескольких уровнях (отмечены на схеме сечения) Уровень 1-1: y 1-1 =h 1 /2=20/2=10см.
Нормальные и касательные
напряжения:
Главные
напряжения:
Уровень 2−2: y 2-2 =h 1 /2−t 1 =20/2−0,97=9,03см.
Главные напряжения:
Уровень 3−3: y 3-3 =h 1 /2−t 1 =20/2−0,97=9,03см.
Нормальные и касательные напряжения: Главные напряжения:
Экстремальные касательные напряжения:
Уровень 4−4: y 4-4 =0.
(в середине нормальные напряжения равны нулю, касательные максимальны, их находили в проверке прочности по касательным напряжениям) Главные напряжения: Экстремальные касательные напряжения:
Уровень 5−5:
Нормальные и касательные напряжения: Главные напряжения:
Экстремальные касательные напряжения: Уровень 6−6:
Нормальные и касательные напряжения: Главные напряжения:
Экстремальные касательные напряжения: Уровень 7−7:
Нормальные и касательные напряжения:
Главные напряжения:
Экстремальные касательные напряжения:
В соответствии с выполненными расчетами эпюры напряжений σ, τ, σ 1 , σ 3 , τ max и τ min
представлены на рис. Анализ
этих эпюр показывает
, что в сечении балки опасными являются точки на уровне 3-3 (или 5-5
), в которых: Используя энергетический критерий прочности,
получим Из сравнения эквивалентного и допускаемого напряжений следует, что условие прочности также выполняется (135,3 МПа<150 МПа).
Неразрезная балка нагружена во всех пролетах. Построить эпюры Q и M для неразрезной балки.
1. Определяем степень статической неопределимости
балки по формуле: n= Соп -3= 5-3 =2,
где Соп – число неизвестных реакций, 3 – число уравнений статики
. Для решения данной балки требуется два дополнительных уравнения.
2. Обозначим номера
опор с нулевой
по порядку (0,1,2,3
) 3. Обозначим номера пролетов
с первого
по порядку (ι 1, ι 2, ι 3
) 4. Каждый пролет рассматриваем как простую балку
и строим для каждой простой балки эпюры Q и M.
То, что относится к простой балке
, будем обозначать с индексом «0
», то, что относится к неразрезной
балке, будем обозначать без этого индекса.
Таким образом, — это поперечная сила и изгибающий момент для простой балки.
Для консольной балки, нагруженной распределенной нагрузкой интенсивностью кН/м и сосредоточенным моментом кН·м (рис. 3.12), требуется: построить эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов , подобрать балку круглого поперечного сечения при допускаемом нормальном напряжении кН/см2 и проверить прочность балки по касательным напряжениям при допускаемом касательном напряжении кН/см2. Размеры балки м; м; м. Горизонтальная реакция в заделке равна нулю, поскольку внешние нагрузки в направлении оси z на балку не действуют. Выбираем направления остальных реактивных усилий, возникающих в заделке: вертикальную реакцию направим, например, вниз, а момент – по ходу часовой стрелки. Их значения определяем из уравнений статики: Составляя эти уравнения, считаем момент положительным при вращении против хода часовой стрелки, а проекцию силы положительной, если ее направление совпадает с положительным направлением оси y. Из первого уравнения находим момент в заделке : Из второго уравнения – вертикальную реакцию : Полученные нами положительные значения для момента и вертикальной реакции в заделке свидетельствуют о том, что мы угадали их направления. В соответствии с характером закрепления и нагружения балки, разбиваем ее длину на два участка. По границам каждого из этих участков наметим четыре поперечных сечения (см. рис. 3.12), в которых мы и будем методом сечений (РОЗУ) вычислять значения перерезывающих сил и изгибающих моментов. Сечение 1.
Отбросим мысленно правую часть балки. Заменим ее действие на оставшуюся левую часть перерезывающей силой и изгибающим моментом . Для удобства вычисления их значений закроем отброшенную нами правую часть балки листком бумаги, совмещая левый край листка с рассматриваемым сечением. Напомним, что перерезывающая сила, возникающая в любом поперечном сечении, должна уравновесить все внешние силы (активные и реактивные), которые действуют на рассматриваемую (то есть видимую) нами часть балки. Поэтому перерезывающая сила должна быть равна алгебраической сумме всех сил, которые мы видим. Приведем и правило знаков для перерезывающей силы: внешняя сила, действующая на рассматриваемую часть балки и стремящаяся «повернуть» эту часть относительно сечения по ходу часовой стрелки, вызывает в сечении положительную перерезывающую силу. Такая внешняя сила входит в алгебраическую сумму для определения со знаком «плюс». В нашем случае мы видим только реакцию опоры , которая вращает видимую нами часть балки относительно первого сечения (относительно края листка бумаги) против хода часовой стрелки. Поэтому Изгибающий момент в любом сечении должен уравновесить момент, создаваемый видимыми нами внешними усилиями, относительно рассматриваемого сечения. Следовательно, он равен алгебраической сумме моментов всех усилий, которые действуют на рассматриваемую нами часть балки, относительно рассматриваемого сечения (иными словами, относительно края листка бумаги). При этом внешняя нагрузка, изгибающая рассматриваемую часть балки выпуклостью вниз, вызывает в сечении положительный изгибающий момент. И момент, создаваемый такой нагрузкой, входит в алгебраическую сумму для определения со знаком «плюс». Мы видим два усилия: реакцию и момент в заделке . Однако у силы плечо относительно сечения 1 равно нулю. Поэтому Знак «плюс» нами взят потому, что реактивный момент изгибает видимую нами часть балки выпуклостью вниз. Сечение 2.
По-прежнему будем закрывать листком бумаги всю правую часть балки. Теперь, в отличие от первого сечения, у силы появилось плечо: м. Поэтому Сечение 3.
Закрывая правую часть балки, найдем Сечение 4.
Закроем листком левую часть балки. Тогда По найденным значениям строим эпюры перерезывающих сил (рис. 3.12, б) и изгибающих моментов (рис. 3.12, в). Под незагруженными участками эпюра перерезывающих сил идет параллельно оси балки, а под распределенной нагрузкой q – по наклонной прямой вверх. Под опорной реакцией на эпюре имеется скачок вниз на величину этой реакции, то есть на 40 кН. На эпюре изгибающих моментов мы видим излом под опорной реакцией . Угол излома направлен навстречу реакции опоры. Под распределенной нагрузкой q эпюра изменяется по квадратичной параболе, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке. В сечении 6 на эпюре – экстремум, поскольку эпюра перерезывающей силы в этом месте проходит здесь через нулевое значение. Условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид: где – момент сопротивления балки при изгибе. Для балки круглого поперечного сечения он равен: Наибольший по абсолютному значению изгибающий момент возникает в третьем сечении балки: Тогда требуемый диаметр балки определяется по формуле Принимаем мм. Тогда «Перенапряжение» составляет что допускается. Наибольшие касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении балки круглого сечения, вычисляются по формуле где – площадь поперечного сечения. Согласно эпюре , наибольшее по алгебраической величине значение перерезывающей силы равно то есть условие прочности и по касательным напряжениям выполняется, причем, с большим запасом. Для шарнирно опертой балки, нагруженной распределенной нагрузкой интенсивностью кН/м, сосредоточенной силой кН и сосредоточенным моментом кН·м (рис. 3.13), требуется построить эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов и подобрать балку двутаврового поперечного сечения при допускаемом нормальном напряжении кН/см2 и допускаемом касательном напряжении кН/см2. Пролет балки м. Рис. 3.13 Для заданной шарнирно опертой балки необходимо найти три опорные реакции: , и . Поскольку на балку действуют только вертикальные нагрузки, перпендикулярные к ее оси, горизонтальная реакция неподвижной шарнирной опоры A равна нулю: . Направления вертикальных реакций и выбираем произвольно. Направим, например, обе вертикальные реакции вверх. Для вычисления их значений составим два уравнения статики: Напомним, что равнодействующая погонной нагрузки , равномерно распределенной на участке длиной l, равна , то есть равна площади эпюры этой нагрузки и приложена она в центре тяжести этой эпюры, то есть посредине длины. Делаем проверку: . Напомним, что силы, направление которых совпадает с положительным направлением оси y, проектируются (проецируются) на эту ось со знаком плюс: то есть верно. Разбиваем длину балки на отдельные участки. Границами этих участков являются точки приложения сосредоточенных усилий (активных и/или реактивных), а также точки, соответствующие началу и окончанию действия распределенной нагрузки. Таких участков в нашей задаче получается три. По границам этих участков наметим шесть поперечных сечений, в которых мы и будем вычислять значения перерезывающих сил и изгибающих моментов (рис. 3.13, а). Сечение 1.
Отбросим мысленно правую часть балки. Для удобства вычисления перерезывающей силы и изгибающего момента , возникающих в этом сечении, закроем отброшенную нами часть балки листком бумаги, совмещая левый край листка бумаги с самим сечением. Перерезывающая сила в сечении балки равна алгебраической сумме всех внешних сил (активных и реактивных), которые мы видим. В данном случае мы видим реакцию опоры и погонную нагрузку q, распределенную на бесконечно малой длине. Равнодействующая погонной нагрузки равна нулю. Поэтому Знак «плюс» взят потому, что сила вращает видимую нами часть балки относительно первого сечения (края листка бумаги) по ходу часовой стрелки. Изгибающий момент в сечении балки равен алгебраической сумме моментов всех усилий, которые мы видим, относительно рассматриваемого сечения (то есть относительно края листка бумаги). Мы видим реакцию опоры и погонную нагрузку q, распределенную на бесконечно малой длине. Однако у силы плечо равно нулю. Равнодействующая погонной нагрузки также равна нулю. Поэтому Сечение 2.
По-прежнему будем закрывать листком бумаги всю правую часть балки. Теперь мы видим реакцию и нагрузку q, действующую на участке длиной . Равнодействующая погонной нагрузки равна . Она приложена посредине участка длиной . Поэтому Напомним, что при определении знака изгибающего момента мы мысленно освобождаем видимую нами часть балки от всех фактических опорных закреплений и представляем ее как бы защемленной в рассматриваемом сечении (то есть левый край листка бумаги нами мысленно представляется жесткой заделкой). Сечение 3.
Закроем правую часть. Получим Сечение 4.
Закрываем листком правую часть балки. Тогда Теперь, для контроля правильности вычислений, закроем листком бумаги левую часть балки. Мы видим сосредоточенную силу P, реакцию правой опоры и погонную нагрузку q, распределенную на бесконечно малой длине. Равнодействующая погонной нагрузки равна нулю. Поэтому То есть все верно. Сечение 5.
По-прежнему закроем левую часть балки. Будем иметь Сечение 6.
Опять закроем левую часть балки. Получим По найденным значениям строим эпюры перерезывающих сил (рис. 3.13, б) и изгибающих моментов (рис. 3.13, в). Убеждаемся в том, что под незагруженным участком эпюра перерезывающих сил идет параллельно оси балки, а под распределенной нагрузкой q – по прямой, имеющей наклон вниз. На эпюре имеется три скачка: под реакцией – вверх на 37,5 кН, под реакцией – вверх на 132,5 кН и под силой P – вниз на 50 кН. На эпюре изгибающих моментов мы видим изломы под сосредоточенной силой P и под опорными реакциями. Углы изломов направлены навстречу этим силам. Под распределенной нагрузкой интенсивностью q эпюра изменяется по квадратичной параболе, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке. Под сосредоточенным моментом – скачок на 60 кН ·м, то есть на величину самого момента. В сечении 7 на эпюре – экстремум, поскольку эпюра перерезывающей силы для этого сечения проходит через нулевое значение (). Определим расстояние от сечения 7 до левой опоры. В инженерных и инженерно-строительных науках (сопротивление материалов, строительная механика, теория прочности), под балкой понимается элемент несущей конструкции, воспринимающаяся преимущественно на изгибные нагрузки, и имеющая различные формы поперечного сечения. Конечно, в реальном строительстве, балочные конструкции подвержены и другим видам нагружения (ветровой нагрузке, вибрации, знакопеременному нагружения), однако основной расчет горизонтальных, многоопертых и жесткозакрепленных балок проводится на действие или поперечной, или приведенной к ней эквивалентной нагрузке. Расчетная схема рассматривает балку как жесткозакрепленный стержень или как стержень, установленный на двух опорах. При наличии 3 и более опор, стержневая система считается статически неопределимой и расчет на прогиб как всей конструкции, так и ее отдельных элементов, значительно усложняется. При этом, основное нагружение рассматривается как сумма сил, действующая в направлении перпендикулярному сечению. Целью расчета на прогиб является определение максимального прогиба (деформации) который не должен превышать предельных значений и характеризует жесткость как отдельного элемента (так и всей связанной с ней строительной конструкции. Расчет на жесткость позволяет решить вопрос о наибольших деформациях, которые могут возникнуть в строительной конструкции при комплексном действии различного вида нагрузок.
Современные методы расчета, проводимые с использованием специализированных расчетов на электронно-вычислительных машинах, или выполняемые при помощи калькулятора, позволяют определить жесткость и прочность объекта исследований. Несмотря на формализацию расчетных методик, которые предусматривают использование эмпирических формул, а действие реальных нагрузок учитывается введением поправочных коэффициентов (коэффициенты запаса прочности), комплексный расчет достаточно полно и адекватно оценивает эксплуатационную надежность возведенного сооружения или изготовленного элемента какой-либо машины. Несмотря на отдельность прочности расчетов и определения жесткости конструкции, обе методики взаимосвязаны, а понятия «жесткость» и «прочность» неразделимы. Однако, в деталях машин, основное разрушение объекта происходит из-за потери прочности, в то время как объекты строительной механики часто непригодны к дальнейшей эксплуатации из значительных пластических деформаций, которые свидетельствуют о низкой жесткости элементов конструкции или объекта в целом. Сегодня, в дисциплинах «Сопротивление материалов», «Строительная механика» и «Детали машин», приняты два метода расчета на прочность и жесткость:
Формула определения прочности балки на изгиб Алгоритм расчета на жесткость (определение величины прогиба) достаточно формализован и не представляет труда для овладения. Для того, чтобы определить прогиб балки, необходимо в нижеприведенной последовательности выполнить следующие действия:
Для составления расчетной схемы балки, необходимо знать:
При простейшем расчете двухопорных балок, одна опора считается жесткой, а вторая закреплена шарнирно. К геометрическим характеристикам, которые необходимы при выполнении расчетов на прочность и жесткость, относится момент инерции сечения (J) и момент сопротивления (W). Для вычисления их величины существуют специальные расчётные формулы. Формула момента сопротивления сечения При определении моментов инерции и сопротивления, необходимо обращать внимание на ориентацию сечения в плоскости разреза. С увеличением момента инерции жесткость балки увеличивается, а прогиб уменьшается. Это легко проверить на практике, пытаясь согнуть доску в обычном, «лежачем» положении и поставив ее на ребро. Формула определения прогиба При определении максимальной нагрузки, необходимо учитывать довольно значительное число факторов, действующих как постоянно (статические нагрузки), так и периодически (ветровая, вибрационная ударная нагрузка). В одноэтажном доме, на деревянный брус потолочного перекрытия будут действовать постоянные весовые усилия от собственного веса, расположенных на втором этаже простенков, мебели, находящихся обитателей и так далее. Конечно, расчет элементов перекрытий на прогиб проводится для всех случаев и обязателен при наличии значительного уровня внешних нагрузок. Сегодня, все вычисления величины прогиба достаточно формализованы и все сложные реальные нагружения сведены к следующим простым расчетным схемам:
При этом, методика и алгоритм расчета не зависят от материала изготовления, прочностные характеристики которого учтены различными значениями модуля упругости. Наиболее распространенной ошибкой обычно является недоучет единиц измерения. К примеру, силовые факторы в расчетные формулы подставляются в килограммах, а величина модуля упругости принимается по системе «СИ», где нет понятия «килограмм силы», а все усилия измеряются в ньютонах или килоньютонах. Современная стройиндустрия при возведении сооружений промышленного и жилого назначения, практикует использование стержневых систем различного сечения, формы и длины, изготовленных из различных материалов. Наиболее большее распространение получили стальные и деревянные изделия. В зависимости от используемого материала, определение значения прогиба имеет свои нюансы, связанные со структурой и однородностью материала. Современное малоэтажное строительство индивидуальных домов и загородных коттеджей практикует широкое использование лаг, изготовленных из хвойных и твердых пород древесины.
В основном, деревянные изделия, работающие на изгиб, применяются для обустройства напольных и потолочных перекрытий. Именно эти элементы конструкции испытают наибольшее действие поперечных нагрузок, взывающих наибольший прогиб. Стрела прогиба деревянной лаги зависит:
Критерий допустимости прогиба балки учитывает два фактора:
Имеют более сложное сечение, которое может быть составным, выполненным из нескольких видов металлического проката.
При расчете металлоконструкций, помимо определения жесткости самого объекта его элементов, часто появляется необходимость определения прочностных характеристик соединений. Обычно, соединение отдельных элементов стальной металлоконструкции проводится:
Балка является основным элементом несущей конструкции сооружения. При строительстве важно провести расчет прогиба балки. В реальном строительстве на данный элемент действует сила ветра, нагружение и вибрации. Однако при выполнении расчетов принято принимать во внимание только поперечную нагрузку или проведенную нагрузку, которая эквивалентна поперечной. Балки в доме При расчете балка воспринимается как жесткозакрепленный стержень, который устанавливается на двух опорах. Если она устанавливается на трех и более опорах, расчет ее прогиба является более сложным, и провести его самостоятельно практически невозможно. Основное нагружение рассчитывается как сумма сил, которые действуют в направлении перпендикулярного сечения конструкции. Расчетная схема требуется для определения максимальной деформации, которая не должна быть выше предельных значений. Это позволит определить оптимальный материал необходимого размера, сечения, гибкости и других показателей. Для строительства различных сооружений применяются балки из прочных и долговечных материалов. Такие конструкции могут отличаться по длине, форме и сечению. Чаще всего используются деревянные и металлические конструкции. Для расчетной схемы прогиба большое значение имеет материал элемента. Особенность расчета прогиба балки в данном случае будет зависеть от однородности и структуры ее материала. Для постройки частных домов, дач и другого индивидуального строительства чаще всего используются деревянные балки. Деревянные конструкции, работающие на изгиб, могут использоваться для потолочных и напольных перекрытий. Деревянные перекрытия Для расчета максимального прогиба следует учитывать: Допустимый прогиб балки учитывает максимальный реальный прогиб, а также возможные дополнительные эксплуатационные нагрузки. Конструкции из древесины хвойных пород Металлические балки отличаются сложным или даже составным сечением и чаще всего изготавливаются из нескольких видов металла. При расчете таких конструкций требуется учитывать не только их жесткость, но и прочность соединений. Стальные перекрытия Металлические конструкции изготавливаются путем соединения нескольких видов металлопроката, используя при этом такие виды соединений: Стальные балки чаще всего применяются для многоэтажных домов и других видов строительства, где требуется высокая прочность конструкции. В данном случае при использовании качественных соединений гарантируется равномерно распределенная нагрузка на балку. Для проведения расчета балки на прогиб может помочь видео:
Чтобы обеспечить прочность, долговечность и безопасность конструкции, необходимо выполнять вычисление величины прогиба балок еще на этапе проектирования сооружения. Поэтому крайне важно знать максимальный прогиб балки, формула которого поможет составить заключение о вероятности применения определенной строительной конструкции. Использование расчетной схемы жесткости позволяет определить максимальные изменения геометрия детали. Расчет конструкции по опытным формулам не всегда эффективен. Рекомендуется использовать дополнительные коэффициенты, позволяющие добавить необходимый запас прочности. Не оставлять дополнительный запас прочности – одна из основных ошибок строительства, которая приводит к невозможности эксплуатации здания или даже тяжелым последствиям. Существует два основных метода расчета прочности и жесткости: Последний метод является наиболее точным и достоверным, ведь именно он помогает определить, какую именно нагрузку сможет выдержать балка. Расчет балок на прогиб Для расчета прочности балки на изгиб применяется формула: M – максимальный момент, который возникает в балке; W n,min – момент сопротивления сечения, который является табличной величиной или определяется отдельно для каждого вида профиля. R y является расчетным сопротивлением стали при изгибе. Зависит от вида стали. γ c представляет собой коэффициент условий работы, который является табличной величиной. Расчет жесткости или величины прогиба балки является достаточно простым, поэтому расчеты может выполнить даже неопытный строитель. Однако для точного определения максимального прогиба необходимо выполнить следующие действия: Чтобы составить расчетную схему, потребуются такие данные: Если производится расчет двухопорной балки, то одна опора считается жесткой, а вторая – шарнирной. Для выполнения расчетов жесткости потребуется значение момент инерции сечения (J) и момента сопротивления (W). Для расчета момента сопротивления сечения лучше всего воспользоваться формулой: Важной характеристикой при определении момента инерции и сопротивления сечения является ориентация сечения в плоскости разреза. При увеличении момента инерции увеличивается и показатель жесткости. Для точного определения прогиба балки, лучше всего применять данную формулу: q является равномерно-распределенной нагрузкой; E – модуль упругости, который является табличной величиной; l – длина; I – момент инерции сечения. Чтобы рассчитать максимальную нагрузку, следует учитывать статические и периодические нагрузки. К примеру, если речь идет о двухэтажном сооружении, то на деревянную балку будет постоянно действовать нагрузка от ее веса, техники, людей. Расчет на прогиб проводится обязательно для любых перекрытий. Крайне важен точный расчет данного показателя при значительных внешних нагрузках. Сложные формулы в данном случае использовать необязательно. Если использовать соответствующие коэффициенты, то вычисления можно свести к простым схемам: Применение этого метода вычисления прогиба позволяет не учитывать материал. Поэтому на расчеты не влияют значения его основных характеристик. Чтобы понять процесс расчета жесткости балки и ее максимального прогиба, можно использовать простой пример проведения расчетов. Данный расчет проводится для балки с такими характеристиками: Для вычисления максимальной допустимой нагрузки учитывается вес балки, перекрытий и опор. Рекомендуется также учесть вес мебели, приборов, отделки, людей и других тяжелых вещей, который также будут оказывать воздействие на конструкцию. Для расчета потребуются такие данные: Чтобы упросить расчет данного примера, можно принять массу перекрытия за 60 кг/м², нагрузку на каждое перекрытие за 250 кг/м², нагрузки на перегородки 75 кг/м², а вес метра балки равным 18 кг. При расстоянии между балками в 60 см, коэффициент k будет равен 0,6. Если подставить все эти значения в формулу, то получится: q = (60 + 250 + 75) * 0,6 + 18 = 249 кг/м. Для расчета изгибающего момента следует воспользоваться формулой f = (5 / 384) * [(qn * L4) / (E * J)] £ [¦]. Подставив в нее данные, получается f = (5 / 384) * [(qn * L4) / (E * J)] = (5 / 384) * [(249 * 44) / (100 000 * 10)] = 0,13020833 * [(249 * 256) / (100 000 * 10)] = 0,13020833 * (6 3744 / 10 000 000) = 0,13020833 * 0,0000063744 = 0,00083 м = 0,83 см. Именно это и является показателем прогиба при воздействии на балку максимальной нагрузки. Данные расчеты показывают, что при действии на нее максимальной нагрузки, она прогнется на 0,83 см. Если данный показатель меньше 1, то ее использование при указанных нагрузках допускается. Использование таких вычислений является универсальным способом вычисления жесткости конструкции и величины их прогибания. Самостоятельно вычислить данные величины достаточно легко. Достаточно знать необходимые формулы, а также высчитать величины. Некоторые данные необходимо взять в таблице. При проведении вычислений крайне важно уделять внимание единицам измерения. Если в формуле величина стоит в метрах, то ее нужно перевести в такой вид. Такие простые ошибки могут сделать расчеты бесполезными. Для вычисления жесткости и максимального прогиба балки достаточно знать основные характеристики и размеры материала. Эти данные следует подставить в несколько простых формул.Статьи с близкой тематикой
Отзывы
3. Для построения составим выражения для их определения на участках. Эпюру моментов построим на волокнах, т.е. вниз. 
(эпюра единичных моментов уже была построена ранее)
,где Q — поперечная сила в сечении, S x 0 – статический момент части поперечного сечения, расположенной по одну сторону от слоя, в котором определяются касательные напряжения, I x – момент инерции всего поперечного сечения, b – ширина сечения в том месте, где определяется касательное напряжение
Определим необходимое расчетное значение осевого момента сопротивления сечения:
Расчетная схема для задачи на прямой поперечный изгиб
Рис. 3.12Решение задачи "прямой поперечный изгиб"
Определяем опорные реакции
кН.
кН·м.
кН; кН·м.
кН;
кН·м.
кН·м.
.Определяем требуемый диаметр поперечного сечения балки
,
.
кН·см.
см.
кН/см2 кН/см2.
,Проверяем прочность балки по наибольшим касательным напряжениям
,
кН. Тогда
кН/см2 кН/см2,Пример решения задачи "прямой поперечный изгиб" №2
Условие примера задачи на прямой поперечный изгиб
Пример задачи на прямой изгиб – расчетная схема
Решение примера задачи на прямой изгиб
Определяем опорные реакции
;
кН.Строим эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов
кН.
кН·м.
кН;
кН·м.
кН;Основные положения расчетных методик
Современные строительные методики расчета стержневых (балочных) конструкций на прочность и жесткость, дают возможность уже на стадии проектирования определить значение прогиба и сделать заключение о возможности эксплуатации строительной конструкции.Алгоритм расчета на жесткость
Определение моментов инерции и сопротивления сечения
Определение максимальной нагрузки и прогиба
Особенности расчета на прогиб
Разновидности балок, применяемых в строительстве
Деревянные
Стальные
Деревянные
Стальные
Прочность и жесткость балки
Расчет на жесткость
Расчет моментов инерции и сопротивления сечения
Определение максимальной нагрузки и прогиба
Особенности расчета на прогиб
Пример подсчета прогиба