Лабораторная работа 1 5 соударение шаров готовая. Измерение времени соударения упругих шаров - лабораторная работа. Закон движения центра масс механической системы

Лабораторная работа

Измерение времени соударения упругих шаров

Цель работы : Измерение времени соударения упругих шаров, определение закона упругой силы, возникающей при соударении шаров.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Соударение упругих шаров не является мгновенным. Соприкосновение шаров длится хотя и малый, но конечный промежуток времени, а силы, возникающие при ударе хотя и велики, но также конечны.

С момента соприкосновения шаров начинается процесс их деформации. Точка соприкосновения переходит в круглую площадку, при этом кинетическая энергия переходит в энергию упругой деформации. Возникают упругие силы, которые достигают наибольшей величины в момент наибольшего сжатия шаров. Затем идет обратный процесс перехода потенциальной энергии деформации в кинетическую энергию движения, заканчивающийся в момент расхождения шаров. Все эти процессы взаимного перехода энергии разворачиваются на очень малом промежутке времени, называемом временем соударения. В общем случае время соударения зависит от упругих свойств материала шаров, их относительной скорости в момент начала удара и от их размеров.

Время соударения определяется законом упругой силы, возникающей при соударении шаров. Известно, что при упругой деформации линейных пружин, стержней упругая сила F определяется законом Гука F = -kh , где h - величина деформации пружины. При деформации тел сложной формы зависимость упругой силы от величины сжатия можно представить в следующем виде

Такой вид зависимости F от h следует из решения так называемой контактной задачи теории упругости, решенной Г.Герцем. При этом было получено, что показатель n=3/2 , а величина k при соударении шаров радиуса R и R" определяется формулой

. (2)

где D зависит от упругих свойств материала шаров.

Н
еобходимо отметить, что при ударе деформируются оба шара, поэтому под величиной сжатия h в формуле (1) следует понимать разность между суммой R+R" и расстоянием между центрами шаров при соприкосновении (см. рис.1).

Потенциальная энергия соприкасающихся деформированных шаров можно определить, используя известную формулу F=-dU/dh .

. (3)

Зависимость времени соударения шаров  от параметров k и n в законе упругой силы (1) можно получить, используя закон сохранения энергии. В системе отсчета, в которой центр инерции шаров покоится, энергия до столкновения равна кинетической энергии относительного движения  V2/2 , где V - относительная скорость сталкивающихся шаров, а  =m1m2 /(m1+m2) их приведенная масса.

В течение столкновения относительная скорость V=dh/dt будет в начале уменьшаться до нуля. Также будет уменьшаться и кинетическая энергия, равная ( /2)(dh / dt )2 . Одновременно будет возрастать величина сжатия, которая достигнет значения h0 в тот момент, когда относительная скорость окажется равной нулю. После достижения максимального сжатия процессы пойдут в обратном направлении. Систему сталкивающихся упругих шаров можно считать замкнутой, поэтому в ней должен выполняться закон сохранения энергии, в силу которого сумма кинетической энергии -  V2/2 и потенциальной энергии - (k / n +1) hn +1 в течение деформации постоянна и равна энергии шаров до соприкосновения, то есть

. (4)

Из этого уравнения можно определить максимальное сближение шаров h0 , которое достигается, когда скорость dh/dt=0 . Получаем из (4)

. (5)

Уравнение (4) представляет собой дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его относительно dt , получаем

Время  , в течение которого длится столкновение (т.е. h меняется от 0 до h0 $ и обратно до нуля), равно

Этот интеграл удобно взять, если ввести новую переменную

Нетрудно видеть также, что x0 - значение новой переменной в точке максимального сжатия равно 1. Имеем

Последний интеграл является табличным, его значение зависеть только от числа n . Таким образом, зависимость времени соударения от скорости приобретает следующий вид.

, (6)

где I(n) -- значение интеграла, зависящее от n .

МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА

Вид формулы (6) подсказывает методику эксперимента для определения параметров в законе упругой силы (1). Представим формулу (6) в следующем виде

Где (7)

Прологарифмируем обе части этого выражения

Отсюда видно, что если экспериментально измерить время соударения  при различных значениях относительной скорости V и по этим данным построить зависимость ln от lnV , то она, согласно (8), представляет собой прямую линию. Причем тангенс угла наклона этой прямой равен b , а отсекаемая часть - lnA . По величине b , можно определить показатель степени n в законе упругой силы. Далее по известным значениям n и A , зная массу шаров (т.е. величину  ), можно рассчитать и значение k .

Установка для измерения зависимости  от V такова. На основании установлена колонка, на которой закреплены два кронштейна. На верхнем кронштейне закрепляются стержни, служащие для подвеса шаров. Расстояние между этими стержнями может изменяться при помощи воротка. На стержнях помещены передвижные держатели подвеса шаров. Через эти подвесы подводится напряжение к нижним подвесам, а через них к шарам. Длина подвесов может регулироваться при помощи специальных втулок с винтами. На нижнем кронштейне закреплена угловая шкала, по которой можно перемещать электромагнит и фиксировать высоту его установки.

К основанию прибора привинчен электронный секундомер, на задней панели которого находится разъем, подающий напряжение к шарам и электромагниту. На лицевой панели секундомера расположены цифровое табло, кнопка "Сеть ", а также кнопки управления "Пуск " и "Сброс ".

Электронная часть установки работает следующим образом. При нажатии кнопки "Пуск " отключается напряжение, питающее электромагнит. Правый шар, удерживаемый до этого электромагнитом под определенным углом к вертикали, отрывается от него и приходит в контакт с покоящимся левым шаром. Шары соединены с контактами блока формирования импульсов. Таким образом, в момент начала соударения происходит короткое замыкание этих контактов, и блок формирования генерирует электрический сигнал. Этот сигнал подключает к счетчику импульсов кварцевый генератор, частота которого очень стабильна и равна 1000000  1Гц , т.е. длительность одного импульса равна 1мкс. Эти импульсы, если их число меньше 999, подсчитываются счетчиком, то есть можно измерять интервалы времени до 999мкс. В конце соударения, когда шары расходятся, блок формирования вырабатывает новый импульс, который отключает кварцевый генератор от счетчика импульсов. Число импульсов, сосчитанных счетчиком за время контакта шаров, или, что то же самое, длительность столкновения в микросекундах высвечивается на цифровом табло. Если длительность контакта шаров превышает 999мкс, на лицевой панели секундомера загорается лампочка "переполнение ". При нажатии кнопки "Сброс " показания секундомера обнуляются, все электронные схемы переводятся в первоначальное состояние, прибор готов к следующим измерениям.

Таким образом, видно, что измерение времени в данной работе является прямым измерением. Систематическая погрешность измерения составляет 1мкс. Измерение скорости в этой работе, напротив, является измерением косвенным. Она о
пределяется следующим образом.

Скорость V шара в момент удара такая же, какая была у шара, падающего по вертикали с высоты H , то есть V=  2gH . Из рис.2 видно, что H=l-a , где l - длина подвеса. Но a=l cos значит H=l(1- cos ) $. Из тригонометрии известно, что 1- cos =2 sin2( /2), откуда H=2l sin2( /2) .Таким образом, . (9)

Длина подвеса измеряется непосредственно линейкой, значение отсчитывается по шкале с точностью  0,5  .

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ И УСЛОВИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

1. Откорректировать установку шаров. Для этого воротком, находящемся на верхнем кронштейне, установить такое расстояние между стержнями, чтобы шары соприкасались друг с другом. Отрегулировать высоту подвеса так, чтобы центры шаров были на одном уровне.

2. Включить микросекундомер в сеть. Нажать кнопку "Сеть ". При этом на цифровом табло должны загореться нули. Кнопка "Пуск " должна быть отжата.

3. Установить электромагнит так, чтобы правый шар, удерживаемый электромагнитом, был отклонен на максимальный угол. Нажав кнопки "Сброс ", а затем "Пуск " провести пробное измерение. При этом надо проследить, чтобы соударение было центральным, то есть траектория движения левого шара после столкновения должна находиться в плоскости движения правого шара до столкновения.

4. Установить с помощью электромагнита шар под максимально возможным углом к вертикали. Не менее 5 раз провести измерение времени соударения для данного угла. Следить за тем, чтобы левый шар в момент удара не двигался. Рассчитать скорость правого шара перед соударением по формуле (9), рассчитать погрешность определения V . Провести обработку результатов измерения времени столкновения, то есть рассчитать среднее значение, среднеквадратичное отклонение, доверительные границы. Провести анализ результатов измерения времени на промах.

5. Изменяя угол подвеса шаров в диапазоне до минимально возможного провести измерение времени соударения аналогично пункту 4. Результаты представить в виде таблицы. Построить график зависимости ln от lnV .

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

Дальнейшая обработка экспериментальной зависимости ln от lnV предполагает использование формулы (8). Чтобы подчеркнуть линейный характер зависимости ln от lnV , введем новые обозначения x =lnV , y =ln , a =lnA . Тогда (8) примет обычный для линейной функции вид

Задача состоит в нахождении таких значений a и b , при которых функция y=a+bx наилучшим образом соответствует опытным данным. (Смысл нечеткого выражения "наилучшим образом" станет ясным из дальнейшего).

За меру отклонения функции (10) от экспериментальных данных для i -го опыта выбирается величина (yi-a-bxi)2 . Почему берется именно такая величина, а не просто (yi-a-bxi) ? Ясно, что оба знака уклонения a+bxi от yi нехороши: плохо, если a и b , таковы, что yi , но также нехорошо, если a и b , таковы, что yi>a+bxi . Если бы за меру отклонения была бы взята величина yi-a-bxi , а затем находилась бы сумма отклонений в нескольких опытах, то можно было бы получить весьма малую величину за счет взаимного уничтожения отдельных слагаемых большой величины, но разных знаком. Это, однако, вовсе не говорило бы о том, что параметры a и b подобраны удачно. Если же за меру отклонения берется (yi-a-bxi)2 , то такого взаимного уничтожения не произойдет, так как все величины (yi-a-bxi)2>0 .

В качестве меры общей ошибки S в описании опытных данных функцией y=a+bx берется сумма мер отклонений для всех опытов (их число обозначим l ), т.е.

. (11)

Метод определения констант a и b , входящих в формулу (10), из требования минимальности общего отклонения, называется методом наименьших квадратов.

Таким образом, надо выбрать a и b , так, чтобы величина была наименьшей. Для этого используются правила нахождения экстремумов, известные из матанализа. Если бы a было уже найдено, то в правой части (11) можно было бы изменять только b , поэтому должно было бы быть так -

Аналогично, если бы было найдено b , то -

Эти два условия дают следующую систему уравнений для определения a и b

. (12)

Величины xi , yi , xi 2 и xiyi просто можно рассчитать по данным эксперимента. Тогда система (12) есть система 2-х линейных уравнений относительно 2-х неизвестных a и b . Решая ее любым способом, нетрудно получить

. (13)

Таким образом, параметры a и b , рассчитанные по формулам (13) дают наилучшее приближение функции (10) к экспериментальным данным.

Определив величины a и b , можно рассчитать среднеквадратичное отклонение S0 , характеризующее степень отклонения данных от рассчитанной прямой, по формуле

. (14)

Здесь a и b - параметры прямой, вычисленные по формулам (13). Среднеквадратичные погрешности каждого параметра определяют по формулам

. (15)

Наконец, доверительные границы a и b параметров прямой при доверительной вероятности  рассчитываются следующим образом

то есть коэффициент Стьюдента выбирается по таблицам для некоторой эффективной вероятности, равной (1+  )/2 и для числа точек, равного l-2 . Например, если надо найти доверительные интервалы параметров прямой, полученных методом наименьших квадратов 10 точек (l=10 ) при доверительной вероятности  =0.9 , то в формулы (16) необходимо подставить коэффициент Стьюдента t0,95, 8 = 2,36.

Определив параметр b , можно восстановить показатель в законе упругой силой. Для этого вспоминаем, что b=(1-n)/(1+n) . Тогда для n получаем

. (17)

Погрешность n определяется как погрешность косвенного измерения по формуле

. (18)

где b вычислено по формуле (16). Полученное значение n теперь можно сравнить с теоретическим, равным для шаров 3/2 .

Определение константы k в законе (1) представляет существенно более сложную задачу. Учитывая, что a =lnA , имеем A=ea и, согласно формуле (7), получаем.

. (19)

Сложность вычисления k по этой формуле заключается в том, что интеграл, достаточно просто берется лишь для n , кратных ½ . Этого для экспериментально определяемых n ожидать трудно. Для произвольных n этот интеграл можно выразить через, так называемую гамма-функцию, зависящую от n . Используя таблицы для гамма-функции, можно получить значение интеграла. Другим способом расчета значения I(n) является численное интегрирование на ЭВМ. Получив значение I(n) тем или иным способом, затем просто рассчитывается величина k . Отметим, что, в принципе, возможно определить и погрешность k , зная n и a . Но эта задача представляет большие сложности и здесь не рассматривается.

Таким образом, определяются параметры в законе упругой силы (1). По известным k и n далее рассчитываются величина максимального сближения шаров h0 по формуле (5). Такие расчеты надо провести для максимальной и минимальной в данном эксперименте скоростях. После этого можно рассчитать по формуле (1) и силы, действующие в этих случаях при максимальном сжатии шаров.

Представляет интерес оценка площади контакта шаров, в момент максимального сжатия, что можно сделать, зная величину h , из геометрических соображений. Очевидно, что пятно контакта представляет собой круг, площадь которого можно считать равной площади основания шарового сегмента радиуса R и высотой h .

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

... соударения . Общий вид прибора для исследования столкновения шаров ... зависят от упругих свойств материалов шаров . При столкновении шара с неподвижной... на угол 1. Порядок выполнения работы Измерение времени взаимодействия шаров и углов , β, γ, γ1. 1) ...

доц.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1-5: СОУДАРЕНИЕ ШАРОВ.

Студент____________________________________________________________________ группа:_________________

Допуск__________________________________ Выполнение _______________________Защита _________________

Цель работы: Проверка закона сохранения импульса. Проверка закона сохранения механической энергии для упругих столкновений. Экспериментальное определение импульса шаров до и после столкновения, расчёт коэффициента восстановления кинетической энергии, определение средней силы соударения двух шаров, скорости шаров при соударении.

Приборы и принадлежности: прибор для исследования столкновения шаров FPM -08, весы, шары, изготовленные из разных материалов.

Описание экспериментальной установки. Механическая конструкция прибора

На нижнем кронштейне закреплены угольники со шкалами 15,16, а на специальных направляющих - электромагнит 17. После отвинчивания болтов 18,19 электромагнит можно передвигать вдоль правой шкалы и фиксировать высоту его установки, что позволяет изменять начальный первого шара. К основанию прибора прикреплён секундомер FRM -16 21,передающий через разъем 22 напряжение к шарам и электромагниту.

На лицевой панели секундомера FRM -16 находятся следующие манипуляционные элементы:

1. W 1 (Сеть)- выключатель сети. Нажатие этой клавиши вызывает включение питающего напряжения;

2. W 2 (Сброс) – сброс измерителя. Нажатие этой клавиши вызывает сбрасывание схем секундомера FRM -16.

3. W 3 (Пуск) –управление электромагнитом. Нажатие этой клавиши вызывает освобождение электромагнита и генерирование в схеме секундомера импульса как разрешение на измерения.

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

Упражнение №1. Проверка закона сохранения импульса при неупругом центральном ударе. Определение коэффициента

Восстановления кинетической энергии.

Для изучения неупругого удара берутся два стальных шара, но на одном шаре в месте, где происходит удар, прикрепляется кусочек пластилина.

Таблица №1.

1. Получите у преподавателя начальное значение угла отклонения первого шара font-size:10.0pt">2.

3. <ПУСК> и произведити отсчет угла отклонения второго шара . Опыт повторите пять раз. Полученные значения угла отклонения запишите в таблицу №1.

4. Массы шаров и написаны на установке.

5. По формуле найдите импульс первого шара до столкновения и запишите в таблицу №1.

6. По формуле найдите пять значений импульса системы шаров после столкновения и запишите в таблицу №1.

7. По формуле

8. По формуле найдите дисперсию среднего значения импульса системы шаров после столкновения..gif" width="40" height="25"> занесите в таблицу №1.

9. По формуле font-size:10.0pt">10. По формуле font-size:10.0pt">11. font-size:10.0pt">12. Запишите интервал для импульса системы после столкновения в виде font-size:10.0pt">Найдите отношение проекции импульса системы после неупругого удара к начальному значению проекции импульса до удара font-size:10.0pt">Упражнение №2. Проверка закона сохранения импульса и механической энергии при упругом центральном ударе.

Определение силы взаимодействия шаров при столкновении.

Для изучения упругого удара берутся два стальных шара. Шар, который отклоняют к электромагниту, считается первым.

Таблица №2.

1. Получите у преподавателя начальное значение угла отклонения первого шара DIV_ADBLOCK3">

2. Установите электромагнит так, чтобы угол отклонения первого шара (меньшей массы) соответствовал заданному значению .

3. Отклоните первый шар на заданный угол, нажмите на клавишу <ПУСК> и произведити отсчет углов отклонения первого шара и второго шара и времени соударения шаров font-size:10.0pt">4. По формуле найдите импульс первого шара до столкновения и запишите в таблицу №2.

5. По формуле найдите пять значений импульса системы шаров после столкновения и запишите в таблицу №2.

6. По формуле найдите среднее значение импульса системы после столкновения.

7. По формуле найдите дисперсию среднего значения импульса системы шаров после столкновения..gif" width="40" height="25"> занесите в таблицу №2.

8. По формуле найдите начальное значение кинетической энергии первого шара до столкновения font-size:10.0pt">9. По формуле найдите пять значений кинетической энергии системы шаров после столкновения font-size:10.0pt">10. По формуле найдите среднее значение кинетической энергии системы после столкновения.

11. По формуле найдите дисперсию среднего значения кинетической энергии системы шаров после столкновения..gif" width="36" height="25 src="> занесите в таблицу №2.

12. По формуле найдите коэффициент восстановления кинетической энергии font-size:10.0pt">13. По формуле найдите среднее значение силы взаимодействия , и занесите в таблицу №2.

14. Запишите интервал для импульса системы после столкновения в виде .

15. Запишите интервал для кинетической энергии системы после столкновения в виде font-size: 10.0pt;font-weight:normal">Найдите отношение проекции импульса системы после упругого удара к начальному значению проекции импульса до удара font-size:10.0pt">Найдите отношение кинетической энергии системы после упругого удара к значению кинетической энергии системы до удара font-size:10.0pt">Сравните полученное значение величины силы взаимодействия с силой тяжести шара большей массы. Сделайте вывод об интенсивности сил взаимного отталкивания, действующих во время удара.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Импульс и энергия, виды механической энергии.

2. Закон изменения импульса, закон сохранения импульса. Понятие о замкнутой механической системе.

3. Закон изменения полной механической энергии, закон сохранения полной механической энергии.

4. Консервативные и неконсервативные силы.

5. Удар, виды ударов. Запись законов сохранения для абсолютно упругого и абсолютно неупругого ударов.

6. Взаимопревращение механической энергии при свободном падении тела и упругих колебаниях.

Работа, мощность, КПД. Виды энергии.

- Механическая работа постоянной по величине и направлению силы

A = FScosα ,

Где А – работа силы, Дж

F – сила,

S – перемещение, м

α - угол между векторами и

Виды механической энергии

Работа является мерой изменения энергии тела или системы тел.

В механике различают следующие виды энергии:

- Кинетическая энергия

font-size:10.0pt">font-size:10.0pt"> где Т – кинетическая энергия, Дж

M – масса точки, кг

ν – скорость точки, м/с

особенность:

Виды потенциальной энергии

- Потенциальная энергия поднятой над Землёй материальной точки

особенность:

(см. рисунок)

- Потенциальная энергия поднятой над Землёй системы материальных точек или протяжённого тела

П=mghц. Т.

где П – потенциальная энергия, Дж

m – масса, кг

g – ускорение свободного падения, м/с2

h – высота точки над нулевым уровнем отсчёта потенциальной энергии, м

hц. т . - высота центра масс системы материальных точек или протяжённого тела над

Нулевым уровнем отсчёта потенциальной энергии, м

особенность: может быть положительной, отрицательной и равной нулю в зависимости от выбора начального уровня отсчёта потенциальной энергии

- Потенциальная энергия деформированной пружины

font-size:10.0pt">где к – коэффициент жёсткости пружины, Н/м

Δ х – величина деформации пружины, м

Особенность: всегда является величиной положительной.

- Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек

https://pandia.ru/text/79/299/images/image057_1.gif" width="47" height="41 src="> , где G – гравитационная постоянная,

M и m – массы точек, кг

r – расстояние между ними, м

особенность: всегда является величиной отрицательной (на бесконечности она принята равной нулю)

Полная механическая энергия

(это сумма кинетической и потенциальной энергии, Дж)

Е = Т + П

Механическая мощность силы N

(характеризует быстроту выполнения работы)

Где А – работа силы за время t

Ватт

различают: - полезную мощность font-size:10.0pt"> - затраченную (или полную мощность) font-size:10.0pt">где Аполезная и Азатр – это полезная и затраченная работа силы соответственно

Мощность постоянной силы можно выразить через скорость равномерно движущегося

под действием этой силы тела:

N = Fv. cosα , где α – угол между векторами силы и скорости

Если скорость тела меняется, то различают ещё мгновенную мощность:

N = Fv мгн. cosα , где v мгн – это мгновенная скорость тела

(т. е. скорость тела в данный момент времени), м/с

Коэффициент полезного действия (КПД)

(характеризует экономичность двигателя, механизма или процесса)

η = font-size:10.0pt">Связь A, N и η

ЗАКОНЫ ИЗМЕНЕНИЯ И СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ

Импульсом материальной точки называется векторная величина равная произведению массы этой точки на её скорость:

,

Импульсом системы материальных точек называется векторная величина, равная:

Импульсом силы называется векторная величина, равная произведению силы на время её действия:

,

Закон изменения импульса:

Вектор изменения импульса механической системы тел равен произведению векторной суммы всех внешних сил, действующих на систему, на время действия этих сил.

font-size:10.0pt">Закон сохранения импульса:

Векторная сумма импульсов тел замкнутой механической системы остаётся постоянной как по величине, так и по направлению при любых движениях и взаимодействиях тел системы.

font-size:10.0pt">Замкнутой называется система тел, на которую не действуют внешние силы или результирующая всех внешних сил равна нулю.

Внешними называются силы, действующие на систему со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему.

Внутренними называются силы, действующие между телами самой системы.

Для незамкнутых механических систем закон сохранения импульса можно применить в следующих случаях:

1. Если проекции всех внешних сил, действующих на систему, на какое-либо направление в пространстве равны нулю, то на это направление выполняется закон сохранения проекции импульса,

(то есть, если font-size:10.0pt">2. Если внутренние силы по величине много больше внешних сил (например, разрыв

Снаряда), либо очень мал промежуток времени, в течение которого действуют

Внешние силы (например, удар), то закон сохранения импульса можно применить

В векторном виде,

(то есть font-size:10.0pt">Закон сохранения и превращения энергии:

Энергия ни откуда не возникает и ни куда не исчезает, а лишь переходит из одного вида энергии в другой, причём так, что суммарная энергия изолированной системы остаётся постоянной.

(например, механическая энергия при столкновении тел частично переходит в тепловую энергию , энергию звуковых волн, затрачивается на работу по деформации тел. Однако суммарная энергия до и после столкновения не изменяется)

Закон изменения полной механической энергии:

К неконсервативным - все остальные силы.

Особенность консервативных сил : работа консервативной силы, действующей на тело, не зависит от формы траектории, по которой движется тело, а определяется лишь начальным и конечным положением тела.

Моментом силы относительно неподвижной точки О называется векторная величина, равная

,

Направление вектора М можно определить по правилу буравчика :

Если рукоятку буравчика вращать от первого сомножителя в векторном произведении ко второму по кратчайшему повороту, то поступательное движение буравчика укажет направление вектора М. ,

Произведение векторной суммы моментов всех внешних сил относительно неподвижной точки О, действующих на механическую систему, на время действия этих сил равно изменению момента импульса этой системы относительно той же точки О.

закон сохранения момента импульса замкнутой системы

Момент импульса замкнутой механической системы относительно неподвижной точки О не изменяется ни по величине ни по направлению при любых движениях и взаимодействиях тел системы.

Если в задаче требуется найти работу консервативной силы, то удобно применять теорему о потенциальной энергии:

Теорема о потенциальной энергии:

Работа консервативной силы равна изменению потенциальной энергии тела или системы тел, взятому с противоположным знаком.

(то есть font-size:10.0pt">Теорема о кинетической энергии:

Изменение кинетической энергии тела равно сумме работ всех сил, действующих на это тело.

(то есть font-size:10.0pt">Закон движения центра масс механической системы:

Центр масс механической системы тел движется как материальная точка, к которой приложены все силы, действующие на эту систему.

(то есть font-size:10.0pt"> где m – масса всей системы, font-size:10.0pt">Закон движения центра масс замкнутой механической системы:

Центр масс замкнутой механической системы находится в состоянии покоя или движется равномерно и прямолинейно при любых движениях и взаимодействиях тел системы.

(то есть, если font-size:10.0pt"> Следует помнить, что все законы сохранения и изменения необходимо записывать относительно одной и той же инерциальной системы отсчёта (обычно относительно земли).

Виды ударов

Ударом называется кратковременное взаимодействие двух или более тел.

Центральным (или прямым ) называется удар, при котором скорости тел до удара направлены вдоль прямой, проходящей через их центры масс. (в противном случае удар называется нецентральным или косым )

Упругим называется удар, при котором тела после взаимодействия движутся раздельно друг от друга.

Неупругим называется удар, при котором тела после взаимодействия движутся как единое целое, то есть с одной и той же скоростью.

Предельными случаями ударов являются абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары.

Абсолютно упругий удар Абсолютно неупругий удар

1. выполняется закон сохранения 1. выполняется закон сохранения

Импульса: импульса:

2. закон сохранения полной 2. закон сохранения и превращения

Кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося относительно оси, движущейся поступательно

, font-size:10.0pt">Основное уравнение динамики вращательного движения механической системы:

Векторная сумма моментов всех внешних сил, действующих на механическую систему относительно неподвижной точки О, равна скорости изменения момента импульса этой системы.

font-size:10.0pt">Основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела:

Векторная сумма моментов всех внешних сил, действующих на тело относительно неподвижной оси Z , равна произведению момента инерции этого тела относительно оси Z , на его угловое ускорение.

font-size:10.0pt">Теорема Штейнера :

Момент инерции тела относительно произвольной оси, равен сумме момента инерции тела относительно оси параллельной данной и проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между этими осями

font-size:10.0pt">,

Момент инерции материальной точки https://pandia.ru/text/79/299/images/image108_0.gif" width="60" height="29 src=">

Элементарная работа момента сил при вращении тела вокруг неподвижной оси ,

Работа момента сил при вращении тела вокруг неподвижной оси ,

Цель работы:

Экспериментальное и теоретическое нахождение значения импульса шаров до и после столкновения, коэффициента восстановления кинетической энергии, средней силы соударения двух шаров. Проверка закона сохранения импульса. Проверка закона сохранения механической энергии для упругих столкновений.

Оборудование: установка «Соударение шаров» ФМ 17,состоящая из: основания 1, стойки 2, в верхней части которой устанавливается кронштейн верхний 3, предназначенный для подвески шаров; корпуса, предназначенного для крепления шкалы 4 угловых перемещений; электромагнита 5, предназначенного для фиксации исходного положения одного из шаров 6; узлов регулировки, обеспечивающие прямой центральный удар шаров; нити 7 для подвески металлических шаров; провода для обеспечения электрического контакта шаров с клеммами 8. Для пуска шара и подсчета времени до соударения служит блок управления 9. Металлические шары 6 выполнены из алюминия, латуни и стали. Масса шаров: латунь 110,00±0,03 г; сталь 117,90±0,03 г; алюминий 40,70±0,03 г.

Краткая теория.

При соударение шаров силы взаимодействия довольно резко изменяются с расстоянием между центрами масс, весь процесс взаимодействия протекает в очень малом пространстве и в очень короткий промежуток времени. Такое взаимодействие называют ударом.

Различают два вида ударов: если тела являются абсолютно упругими, то удар называют абсолютно упругим. Если же тела абсолютно неупругие, то удар абсолютно неупругий. В данной лабораторной работе мы будем рассматривать только центральный удар, то есть удар, который происходит по линии, соединяющий центы шаров.

Рассмотрим абсолютно неупругий удар . Этот удар можно наблюдать на двух свинцовых или восковых шарах, подвешенных на нити одинаковой длинны. Процесс соударения протекает следующим образом. Как только шары А и В придут в соприкосновение, начнется их деформация, в результате которой возникнут силы сопротивления (вязкое трение), затормаживающие шар А и ускоряющие шар В. Так как эти силы пропорциональны скорости изменения деформации (т. е. относительной скорости движения шаров), то по мере уменьшения относительной скорости они убывают и обращаются в нуль, как только скорости шаров выровняться. С этого момента шары, «слившись», движутся вместе.

Рассмотрим задачу о ударе неупругих шаров количественно. Будем считать, что на них ни какие третьи тела не действуют. Тогда шары образуют замкнутую систему, в которой можно применить законы сохранения энергии и импульса. Однако силы действующие на них не консервативны. Поэтому к системе применим закон сохранения энергии:

где А- работа не упругих (консервативных) сил;

E и E′ – полная энергия двух шаров соответственно до и после удара, состоящая из кинетической энергии обоих шаров и потенциальной энергии их взаимодействия между собой:

U, (2)

Так как до и после удара шары не взаимодействуют, то и соотношение (1) принимает вид:

Где массы шаров; - их скорости до соударения; v′ - скорость шаров после удара. Поскольку A<0, то равенство (3) показывает, что кинетическая энергия системы уменьшилась. Деформация и нагрев шаров произошли за счет убыли кинетической энергии.

Для определения конечной скорости шаров следует воспользоваться законом сохранения импульса

Так как удар центральный, то все векторы скоростей лежат на одной прямой. Принимая эту прямую за ость X и проецируя уравнение (5) на эту ось, получим скалярное уравнение:

(6)

Из этого видно, что если шары до удара двигались в одну сторону, то после удара они будут двигаться в ту же сторону. Если же шары до удара двигались навстречу друг другу то после удара они будут двигаться в ту сторону, куда двигался шар, имеющий больший импульс.

Поставим v′ из (6), в равенство (4):

(7)

Таким образом, работа внутренних неконсервативных сил при деформации шаров пропорциональна квадрату относительной скорости шаров.

Абсолютно упругий удар протекает в два этапа. Первый этап – От начала соприкосновения шаров до выравнивания скоростей – протекает также, как и при абсолютно неупругом ударе, с той лишь разницей, что силы взаимодействия (как силы упругости) зависят только от величины деформации и не зависят от скорости её изменения. Пока скорости шаров не сравнялись деформация будет нарастать и силы взаимодействия, замедляющие один шар и ускоряющие другой. В момент, когда скорости шаров сравняются, силы взаимодействия будут наибольшими, с этого момента начинается второй этап упругого удара: деформированные тела действуют друг на друга в том же направлении, в каком они действовали до выравнивания скоростей. Поэтому то тело, которое замедлялось будет продолжать замедляться, а то которое ускорялось – ускоряться, до тех пор пока деформация не исчезнет. При восстановлении формы тел вся потенциальная энергия вновь переходит в кинетическую энергию шаров, т. о. при абсолютно упругом ударе тела не изменяют своей внутренней энергии.

Будем считать, что два соударяющихся шара образуют замкнутую систему, в которой силы являются консервативными. В таком случаи работа этих сил приводит к увеличению потенциальной энергии взаимодействующих тел. Закон сохранения энергии запишется следующим образом:

где - кинетические энергии шаров в произвольный момент времени t (в процессе удара), а U - потенциальная энергия системы в тот же момент. − значение тех же величин в другой момент времени t′. Если момент времени t соответствует началу соударения, то ; если t′ соответствует концу соударения, то Запишем законы сохранения энергии и импульса для двух этих моментов времени:

(8)

Решим систему уравнений (9) и (10) относительно 1 v′ и 2 v′. Для этого перепишем её в следующем виде:

Поделим первое уравнение на второе:

(11)

Решая систему из уравнения (11) и второго уравнения (10), получим:

, (12)

Здесь скорости имеют положительный знак, если они совпадают с положительным направлением оси, и отрицательный – в противном случаи.

Установка «Соударение шаров» ФМ 17: устройство и принцип работы:

1 Установка "Соударение шаров" представлена на рисунке и состоит из: основание 1, стойку 2, в верхней части которой устанавливается кронштейн верхний 3, предназначенный для подвески шаров; корпус, предназначенный для крепления шкалы 4 угловых перемещений; электромагнит 5, предназначенный для фиксации исходного положения одного из шаров 6; узлы регулировки, обеспечивающие прямой центральный удар шаров; нити 7 для подвески металлических шаров; провода для обеспечения электрического контакта шаров с клеммами 8. Для пуска шара и подсчета времени до соударения служит блок управления 9. Металлические шары 6 выполнены из алюминия, латуни и стали.

Практическая часть

Подготовка прибора к работе

Перед началом выполнения работы необходимо проверить является удар шаров центральным, для этого нужно отклонить первый шар (меньшей массы) на некоторый угол и нажать клавишу Пуск . Плоскости траекторий движения шаров после столкновения должны совпадать с плоскостью движения первого шара до столкновения. Центра масс шаров в момент соударения должны находится на одной горизонтальной линии. Если этого не наблюдается, то необходимо выполнить следующие действия:

1. С помощью винтов 2 добиться вертикального положения колонны 3 (рис. 1).

2. Изменяя длину нити подвеса одного из шаров необходимо добиться того, что центры масс шаров находились на одной горизонтальной линии. При соприкосновении шаров нити должны быть вертикальны. Это достигается перемещением винтов 7 (см. рис. 1).

3. Необходимо добиться того, чтобы плоскости траекторий движения шаров после соударения совпадали с плоскостью траектории первого шара до столкновения. Это достигается с помощью винтов 8 и 10.

4. Отпустить гайки 20, угловые шкалы 15,16 установить таким образом, чтобы указатели углов в момент, когда шары занимают положение покоя, показывали на шкалах ноль. Затянуть гайки 20.

Задание 1 .Определить время соударения шаров.

1. Вставит алюминиевые шары в скобы подвеса.

2. Включить установку

3. Отвести первый шар на угол и зафиксировать его с помощью электромагнита.

4. Нажать кнопу «ПУСК». При этом произойдет удар шаров.

5. По таймеру определить время соударения шаров.

6. Занести результаты в таблицу.

7. Сделать 10 измерений, результаты занести в таблицу

9. Сделать вывод о зависимости времени соударения от механических свойств материалов соударяющихся тел.

Задание 2. Определить коэффициенты восстановления скорости и энергии для случая упругого удара шаров.

1. В скобы вставить алюминиевые, стальные или латунные шары (по указанию преподавателя). Материал шаров:

2. Отвести первый шар к электромагниту и записать угол бросания

3. Нажать кнопу «ПУСК». При этом произойдет удар шаров.

4. При помощи шкал визуально определить углы отскока шаров

5. Результаты занести в таблицу.

6. Произвести 10 измерений результаты занести в таблицу.

7. По полученным результатам произвести расчет оставшихся величин по формулам.

Скорости шаров до и после удара можно вычислить следующим образом:

где l - расстояние от точки подвеса до центра тяжести шаров;

Угол бросания, градусов;

Угол отскока правого шара, градусов;

Угол отскока левого шара, градусов.

Коэффициент восстановления скорости можно определить по формуле:

Коэффициент восстановления энергии можно определить по формуле:

Потерю энергии при частично упругом соударении можно вычислить по формуле:

8. Произвести расчеты средних значений всех величин.

9.Произвести расчет погрешностей по формулам:

=

=

=

=

=

=

10. Записать получившиеся результаты с учётом погрешности в стандартом виде.

Задание 3. Проверка закона сохранения импульса при неупругом центральном ударе. Определение коэффициента восстановления кинетической энергии.

Для изучения неупругого удара берутся два стальных шара, но на одном из них в месте, где происходит удар, прикрепляют кусочек пластилина. Шар, который отклоняют к электромагниту, считается первым.

Таблица №1

1. Получите у преподавателя начальное значение угла отклонения первого шара и запишите его в таблицу №1.

2. Установите электромагнит так, чтобы угол отклонения первого шара соответствовал заданному значению

3. Отклоните первый шар на заданный угол, нажмите клавишу <ПУСК> и произведите отсчёт угла отклонения второго шара . Опыт повторите 5 раз. Полученные значения угла отклонения запишите в таблицу № 1.

4. Масса шаров указанны на установке.

5. По формуле найдите импульс первого шара до столкновения и запишите результат в табл. №1.

6. По формуле найдите 5 значений импульса системы шаров после столкновения и запишите результат в табл. №1.

7. По формуле

8. По формуле найдите дисперсию среднего значения импульса системы шаров после столкновения. Найдите среднеквадратичное отклонение среднего значения импульса системы после столкновения. Полученное значение занесите в таблицу №1.

9. По формуле найдите начальное значение кинетической энергии первого шара до столкновения , и занесите его в таблицу №1.

10. По формуле найдите пять значений кинетической энергии системы шаров после столкновения , и занесите их в табл. №1.

11. По формуле 5 найдите среднее значение кинетической энергии системы после столкновения.

12. По формуле

13. По формуле найдите коэффициент восстановления кинетической энергии По полученному значению коэффициента восстановления кинетической энергии сделайте вывод о сохранении энергии системы во время столкновения.

14. Запишите ответ для импульса системы после столкновения в виде

15. Найдите отношение проекции импульса системы после неупругого удара к начальному значению проекции импульса системы до удара . По полученному значению отношения проекции импульсов до и после столкновения сделайте вывод о сохранении импульса системы во время столкновения.

Задание 4. Проверка закона сохранения импульса и механической энергии при упругом центральном ударе. Определение силы взаимодействия шаров при столкновении.

Для изучения упругого удара берутся два стальных шара. Шар, который отклоняют к электромагниту, считается первым.

Таблица №2.

1. Получите у преподавателя начальное значение угла отклонения первого шара и записать в табл. №2

2. Установите электромагнит так, чтобы угол отклонения первого шара соответствовал заданному значению .

3. Отклоните первый шар на заданный угол, нажмите на клавишу <ПУСК> и произведите отсчёт углов отклонения первого шара и второго шара и времени соударения шаров . Опыт повторите 5 раз. Полученные значения углов отклонения и времени соударения запишите в табл. №2.

4. Массы шаров указаны на установке.

5. По формуле найдите импульс первого шара до столкновения и запишите результат в таблицу №2.

6. По формуле найдите 3 значений импульса системы шаров после столкновения и запишите результат в табл. №2.

7. По формуле найдите среднее значение импульса системы после столкновения.

8. по Формуле найти дисперсию среднего значения импульса системы шаров после столкновения. Найдите среднеквадратичное отклонение среднего значения импульса системы после столкновения. Полученное значение занесите в таблицу №2.

9. По формуле найдите начальное значение кинетической энергии первого шара до столкновения и результат занесите в табл. №2.

10. По формуле найдите пять значений кинетической энергии системы шаров после столкновения , и результаты занесите в табл. № 2.

11. По формуле найдите среднее значение кинетической энергии системы после столкновения

12. По формуле найти дисперсию среднего значения кинетической энергии системы шаров после столкновения. Найдите среднеквадратичное отклонение среднего значения кинетической энергии системы после столкновения. Полученное значение занесите в табл. №2.

13. По формуле найдите коэффициент восстановления кинетической энергии .

14. По формуле найдите среднее значение силы взаимодействия и результат занесите в таблицу №2.

15. Запишите ответ для импульса системы после столкновения в виде: .

16. Запишите интервал для кинетической энергии системы после столкновения в виде: .

17. Найдите отношение проекции импульса системы после упругого удара к начальному значению проекции импульса до удара . По полученному значению отношения проекции импульсов до и после столкновения сделайте вывод о сохранении импульса системы во время столкновения.

18. Найдите отношение кинетической энергии системы после упругого удара к значению кинетической энергии системы до удара . По полученному значению отношения кинетических энергий до и после столкновения сделайте вывод о сохранении механической энергии системы во время столкновения.

19. Сравните полученное значение величины силы взаимодействия с силой тяжести шара большей массы. Сделайте вывод об интенсивности сил взаимного отталкивания, действующих во время удара.

Контрольные вопросы:

1. Охарактеризуйте виды ударов, укажите какие законы при ударе выполняются?

2. Механическая система. Закон изменения импульса, закон сохранения импульса. Понятие о замкнутой механической системе. Когда для незамкнутой механической системы можно применить закон сохранения импульса?

3. Определите скорости тел одинаковой массы после удара в следующих случаях:

1) первое тело движется второе покоиться.

2) оба тела движутся в одном направлении.

3) оба тела движутся в противоположном направлении.

4. Определите величину изменения импульса равномерно вращающейся по окружности точки массой m. Через полтора, через четверть периода.

5. Сформируйте закон сохранения механической энергии, в каких случаях он не выполняется.

6. Запишите формулы для определения коэффициентов восстановления скорости и энергии, объясните физический смысл.

7. От чего зависит величина потери энергии при частично упругом ударе?

8. Импульс тела и импульс силы, виды механической энергии. Механическая работа силы.

Лабораторная работа №1-5: соударение шаров. Студент группа - страница №1/1

доц. Миндолин С.Ф.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1-5: СОУДАРЕНИЕ ШАРОВ.
Студент____________________________________________________________________ группа:_________________

Допуск__________________________________ Выполнение _______________________Защита _________________
Цель работы: Проверка закона сохранения импульса. Проверка закона сохранения механической энергии для упругих столкновений. Экспериментальное определение импульса шаров до и после столкновения, расчёт коэффициента восстановления кинетической энергии, определение средней силы соударения двух шаров, скорости шаров при соударении.

Приборы и принадлежности: прибор для исследования столкновения шаров FPM-08, весы, шары, изготовленные из разных материалов.

Описание экспериментальной установки. Механическая конструкция прибора

На нижнем кронштейне закреплены угольники со шкалами 15,16, а на специальных направляющих - электромагнит 17. После отвинчивания болтов 18,19 электромагнит можно передвигать вдоль правой шкалы и фиксировать высоту его установки, что позволяет изменять начальный первого шара. К основанию прибора прикреплён секундомер FRM-16 21,передающий через разъем 22 напряжение к шарам и электромагниту.

На лицевой панели секундомера FRM-16 находятся следующие манипуляционные элементы:

1. 
   W1 (Сеть)- выключатель сети. Нажатие этой клавиши вызывает включение питающего напряжения;
2. 
   W2 (Сброс) – сброс измерителя. Нажатие этой клавиши вызывает сбрасывание схем секундомера FRM-16.
3. 
   W3 (Пуск) –управление электромагнитом. Нажатие этой клавиши вызывает освобождение электромагнита и генерирование в схеме секундомера импульса как разрешение на измерения.

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ
Упражнение №1. Проверка закона сохранения импульса при неупругом центральном ударе. Определение коэффициента

восстановления кинетической энергии.

Таблица №1.

№ опыта
1
2
3
4
5

Найдите отношение проекции импульса системы после неупругого удара

Упражнение №2. Проверка закона сохранения импульса и механической энергии при упругом центральном ударе.

Определение силы взаимодействия шаров при столкновении.

Таблица №2.

№ опыта
1
2
3
4
5

Найдите отношение проекции импульса системы после упругого удара к начальному значению проекции импульса до удара
. По полученному значению отношения проекции импульсов до и после столкновения сделайте вывод о сохранении импульса системы во время столкновения.

Найдите отношение кинетической энергии системы после упругого удара к значению кинетической энергии системы до удара . По полученному значению отношения кинетических энергий до и после столкновения сделайте вывод о сохранении механической энергии системы во время столкновения.

Сравните полученное значение величины силы взаимодействия
с силой тяжести шара большей массы. Сделайте вывод об интенсивности сил взаимного отталкивания, действующих во время удара.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. 
   Импульс и энергия, виды механической энергии.
2. 
   Закон изменения импульса, закон сохранения импульса. Понятие о замкнутой механической системе.
3. 
   Закон изменения полной механической энергии, закон сохранения полной механической энергии.
4. 
   Консервативные и неконсервативные силы.
5. 
   Удар, виды ударов. Запись законов сохранения для абсолютно упругого и абсолютно неупругого ударов.
6. 
   Взаимопревращение механической энергии при свободном падении тела и упругих колебаниях.

Работа, мощность, КПД. Виды энергии.

- Механическая работа постоянной по величине и направлению силы

A = FScosα ,
где А – работа силы, Дж

F – сила,

S – перемещение, м

α - угол между векторами и

Работа является мерой изменения энергии тела или системы тел.

В механике различают следующие виды энергии:

- Кинетическая энергия

- кинетическая энергия материальной точки

- кинетическая энергия системы материальных точек.

где Т – кинетическая энергия, Дж

m – масса точки, кг

ν – скорость точки, м/с

особенность:
Виды потенциальной энергии

- Потенциальная энергия поднятой над Землёй материальной точки
П=mgh
особенность:

(см. рисунок)

m – масса, кг

g – ускорение свободного падения, м/с 2

h – высота точки над нулевым уровнем отсчёта потенциальной энергии, м

h ц.т . - высота центра масс системы материальных точек или протяжённого тела над

нулевым уровнем отсчёта потенциальной энергии, м

- Потенциальная энергия деформированной пружины

, где к – коэффициент жёсткости пружины, Н/м

Δх – величина деформации пружины, м

- Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек

M и m – массы точек, кг

r – расстояние между ними, м

особенность: всегда является величиной отрицательной (на бесконечности она принята равной нулю)

Полная механическая энергия

Е = Т + П

Механическая мощность силы N

где А – работа силы за время t

Ватт

различают: - полезную мощность

Затраченную (или полную мощность)

где А полезная и А затр – это полезная и затраченная работа силы соответственно

под действием этой силы тела:

N = Fv мгн . cosα , где v мгн – это мгновенная скорость тела

(т.е. скорость тела в данный момент времени), м/с

(характеризует экономичность двигателя, механизма или процесса)

ЗАКОНЫ ИЗМЕНЕНИЯ И СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ

Импульсом материальной точки называется векторная величина равная произведению массы этой точки на её скорость:

,

Импульсом системы материальных точек называется векторная величина, равная:

Импульсом силы называется векторная величина, равная произведению силы на время её действия:

,

Закон изменения импульса:

Вектор изменения импульса механической системы тел равен произведению векторной суммы всех внешних сил, действующих на систему, на время действия этих сил.

Закон сохранения импульса:

Векторная сумма импульсов тел замкнутой механической системы остаётся постоянной как по величине, так и по направлению при любых движениях и взаимодействиях тел системы.

Замкнутой называется система тел, на которую не действуют внешние силы или результирующая всех внешних сил равна нулю.

Внешними называются силы, действующие на систему со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему.

Внутренними называются силы, действующие между телами самой системы.
Для незамкнутых механических систем закон сохранения импульса можно применить в следующих случаях:

1. 
   Если проекции всех внешних сил, действующих на систему, на какое-либо направление в пространстве равны нулю, то на это направление выполняется закон сохранения проекции импульса,

1. 
   Если внутренние силы по величине много больше внешних сил (например, разрыв

внешние силы (например, удар), то закон сохранения импульса можно применить

в векторном виде,

(то есть )

Закон сохранения и превращения энергии:

Энергия ни откуда не возникает и ни куда не исчезает, а лишь переходит из одного вида энергии в другой, причём так, что суммарная энергия изолированной системы остаётся постоянной.

Изменение полной механической энергии системы тел равно сумме работ всех неконсервативных сил, действующих на тела этой системы.

(то есть )

Закон сохранения полной механической энергии:

Полная механическая энергия системы тел, на тела которой действуют только консервативные силы или все действующие на систему неконсервативные силы работу не совершают, не изменяется с течением времени.

(то есть
)

К консервативным силам относятся:
,
,
,
,
.

К неконсервативным - все остальные силы.

Особенность консервативных сил : работа консервативной силы, действующей на тело, не зависит от формы траектории, по которой движется тело, а определяется лишь начальным и конечным положением тела.

Моментом силы относительно неподвижной точки О называется векторная величина, равная

,

Направление вектора М можно определить по правилу буравчика :

Если рукоятку буравчика вращать от первого сомножителя в векторном произведении ко второму по кратчайшему повороту, то поступательное движение буравчика укажет направление вектора М.

Модуль момента силы относительно неподвижной точки
,

Момент импульса тела относительно неподвижной точки

,

Направление вектора L можно определить по правилу буравчика.

Если рукоятку буравчика вращать от первого сомножителя в векторном произведении ко второму по кратчайшему повороту, то поступательное движение буравчика укажет направление вектора L.
Модуль момента импульса тела относительно неподвижной точки
,

закон изменения момента импульса

Произведение векторной суммы моментов всех внешних сил относительно неподвижной точки О, действующих на механическую систему, на время действия этих сил равно изменению момента импульса этой системы относительно той же точки О.

закон сохранения момента импульса замкнутой системы

Момент импульса замкнутой механической системы относительно неподвижной точки О не изменяется ни по величине ни по направлению при любых движениях и взаимодействиях тел системы.

Если в задаче требуется найти работу консервативной силы, то удобно применять теорему о потенциальной энергии:

Теорема о потенциальной энергии:

Работа консервативной силы равна изменению потенциальной энергии тела или системы тел, взятому с противоположным знаком.

(то есть )

Теорема о кинетической энергии:

Изменение кинетической энергии тела равно сумме работ всех сил, действующих на это тело.

(то есть
)

Закон движения центра масс механической системы:

Центр масс механической системы тел движется как материальная точка, к которой приложены все силы, действующие на эту систему.

(то есть
),

где m – масса всей системы,
- ускорение центра масс.

Закон движения центра масс замкнутой механической системы:

Центр масс замкнутой механической системы находится в состоянии покоя или движется равномерно и прямолинейно при любых движениях и взаимодействиях тел системы.

(то есть, если )

Следует помнить, что все законы сохранения и изменения необходимо записывать относительно одной и той же инерциальной системы отсчёта (обычно относительно земли).

Виды ударов

Ударом называется кратковременное взаимодействие двух или более тел.

Центральным (или прямым ) называется удар, при котором скорости тел до удара направлены вдоль прямой, проходящей через их центры масс. (в противном случае удар называется нецентральным или косым )

Упругим называется удар, при котором тела после взаимодействия движутся раздельно друг от друга.

Неупругим называется удар, при котором тела после взаимодействия движутся как единое целое, то есть с одной и той же скоростью.

Предельными случаями ударов являются абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары.

1. выполняется закон сохранения 1. выполняется закон сохранения

импульса: импульса:

2. закон сохранения полной 2. закон сохранения и превращения

механической энергии: энергии:

где Q – количество теплоты,

выделившееся в результате удара.

ΔU – изменение внутренней энергии тел в

результате удара
ДИНАМИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА

Момент импульса твёрдого тела, вращающегося относительно неподвижной оси
,

Кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося относительно неподвижной оси
,

Кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося относительно оси, движущейся поступательно

Основное уравнение динамики вращательного движения механической системы:

Векторная сумма моментов всех внешних сил, действующих на механическую систему относительно неподвижной точки О, равна скорости изменения момента импульса этой системы.

Основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела:

Векторная сумма моментов всех внешних сил, действующих на тело относительно неподвижной оси Z, равна произведению момента инерции этого тела относительно оси Z, на его угловое ускорение.

Теорема Штейнера :

Момент инерции тела относительно произвольной оси, равен сумме момента инерции тела относительно оси параллельной данной и проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между этими осями

,

Момент инерции материальной точки
,

Элементарная работа момента сил при вращении тела вокруг неподвижной оси
,

Работа момента сил при вращении тела вокруг неподвижной оси
,