Дифференциальные уравнения для "чайников". Примеры решения. Решение простейших дифференциальных уравнений первого порядка
Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка, т.е. уравнение
и установим некоторые свойства его решений.
Свойство 1
Если
является
решением линейного однородного
уравнения, то C
,
где C
- произвольная постоянная,
является решением того же
уравнения.
Доказательство.
Подставляя
в левую часть рассматриваемого
уравнения C
,
получим:
,
но
,
т.к.
является
решением исходного уравнения.
Следовательно,
и
справедливость указанного свойства
доказана.
Свойство 2
Сумма двух решений
линейного однородного уравнения
является решением того же уравнения.
Доказательство.
Пусть
и
являются
решениями рассматриваемого уравнения,
тогда
и
.
Подставляя теперь
+
в рассматриваемое уравнение будем
иметь:
,
т.е.
+
есть решение исходного уравнения.
Из доказанных свойств следует, что,
зная два частных решения
и
линейного
однородного уравнения второго порядка,
мы можем получить решение
,
зависящее от двух произвольных
постоянных, т.е. от такого количества
постоянных, какое должно содержать
общее решение уравнение второго
порядка. Но будет ли это решение общим,
т.е. можно ли путем выбора произвольных
постоянных
и
удовлетворить
произвольно заданным начальным
условиям?
При ответе на этот вопрос
будет использовано понятие линейной
независимости функций, которую можно
определить следующим образом.
Две функции
и
называются
линейно независимыми
на некотором
интервале, если их отношение на этом
интервале не является постоянным,
т.е. если
.
В противном случае функции называются
линейно зависимыми
.
Иными
словами, две функции
и
называются
линейно зависимыми на некотором
интервале, если
на
всем интервале.
Примеры
1. Функции y
1
= e
x
и
y
2
=
e
-
x
линейно
независимы при всех значениях x , т.к.
.
2. Функции y
1
= e
x
и
y
2
=
5 e
x
линейно
зависимы, т.к.
.
Теорема 1.
Если функции и линейно зависимы на некотором интервале, то определитель , называемый определителем Вронского данных функций, тождественно равен нулю на этом интервале.
Доказательство.
Если
,
где
,
то
и
.
Следовательно,
.
Теорема доказана.
Замечание.
Определитель Вронского,
фигурирующий в рассмотренной теореме,
обычно обозначается буквой W
или
символами
.
Если функции
и
являются
решениями линейного однородного
уравнения второго порядка, то для них
справедлива следующая обратная и
притом более сильная теорема.
Теорема 2.
Если определитель Вронского, составленный для решений и линейного однородного уравнения второго порядка, обращается в ноль хотя бы в одной точке, то эти решения линейно зависимы.
Доказательство.
Пусть определитель Вронского обращается
в ноль в точке
,
т.е.
=0,
и пусть
и
.
Рассмотрим линейную однородную
систему
относительно
неизвестных
и
.
Определитель этой системы
совпадает
со значением определителя Вронского
при
x=
,
т.е. совпадает с
,
и, следовательно, равен нулю. Поэтому
система имеет ненулевое решение
и
(
и
не
равны нулю). Используя эти значения
и
,
рассмотрим функцию
.
Эта функция является решением того
же уравнения, что и функции
и
.
Кроме того, эта функция удовлетворяет
нулевым начальным условиям:
,
т.к.
и
.
С другой стороны, очевидно, что
решением уравнения
,
удовлетворяющим нулевым начальным
условиям, является функция y
=0.
В
силу единственности решения, имеем:
.
Откуда следует, что
,
т.е. функции
и
линейно
зависимы. Теорема доказана.
Следствия.
1. Если определитель Вронского, фигурирующий в теоремах, равен нулю при каком-нибудь значении x= , то он равен нулю при любом значении x из рассматриваемого интервала.
2. Если решения и линейно независимы, то определитель Вронского не обращается в ноль ни в одной точке рассматриваемого интервала.
3. Если определитель Вронского отличен от нуля хотя бы в одной точке, то решения и линейно независимы.
Теорема 3.
Если и - два линейно независимых решения однородного уравнения второго порядка , то функция , где и - произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.
Доказательство.
Как известно, функция
является
решением рассматриваемого уравнения
при любых значениях
и
.
Докажем теперь, что каковы бы ни были
начальные условия
и
,
можно так подобрать значения
произвольных постоянных
и
,
чтобы соответствующее частное решение
удовлетворяло заданным начальным
условиям.
Подставляя начальные
условия в равенства, получим систему
уравнений
.
Из этой системы можно определить
и
,
т.к. определитель этой системы
есть
определитель Вронского при x=
и,
следовательно, не равен нулю (в силу
линейной независимости решений
и
).
; .
Частное решение при полученных значениях и удовлетворяет заданным начальным условиям. Таким образом, теорема доказана.
Примеры
Пример 1.
Общим решением
уравнения
является
решение
.
Действительно,
.
Следовательно, функции sinx и cosx линейно независимы. В этом можно убедиться, рассмотрев отношение этих функций:
.
Пример 2.
Решение y = C 1 e x + C 2 e - x уравнения является общим, т.к. .
Пример 3.
Уравнение
,
коэффициенты которого
и
непрерывны
на любом интервале, не содержащем
точки x = 0, допускает частные решения
(легко
проверить подстановкой). Следовательно,
его общее решение имеет вид:
.
Замечание
Мы установили, что общее решение линейного однородного уравнения второго порядка можно получить зная два каких-либо линейно независимых частных решения этого уравнения. Однако, не существует общих методов для нахождения таких частных решений в конечном виде для уравнений с переменными коэффициентами. Для уравнений с постоянными коэффициентами такой метод существует и будет рассмотрен нами позднее.
На сегодняшний день одним из важнейших навыков для любого специалиста является умение решать дифференциальные уравнения. Решение дифференциальных уравнений – без этого не обходится ни одна прикладная задача, будь это расчет какого-либо физического параметра или моделирование изменений в результате принятой макроэкономической политики. Эти уравнения также важны для ряда других наук, таких как химия, биология, медицина и т.д. Ниже мы приведем пример использования дифференциальных уравнений в экономике, но перед этим кратко расскажем об основных типах уравнений.
Дифференциальные уравнения – простейшие виды
Мудрецы говорили, что законы нашей вселенной написаны на математическом языке. Конечно, в алгебре есть много примеров различных уравнений, но это, большей частью, учебные примеры, неприменимые на практике. По-настоящему интересная математика начинается, когда мы хотим описать процессы, протекающие в реальной жизни. Но как отразить фактор времени, которому подчиняются реальные процессы – инфляция, выработка продукции или демографические показатели?
Вспомним одно важное определение из курса математики, касающееся производной функции. Производная является скоростью изменения функции, следовательно, она может помочь нам отразить фактор времени в уравнении.
То есть, мы составляем уравнение с функцией, которая описывает интересующий нас показатель и добавляем в уравнение производную этой функции. Это и есть дифференциальное уравнение. А теперь перейдем к простейшим типам дифференциальных уравнений для чайников .
Простейшее дифференциальное уравнение имеет вид $y’(x)=f(x)$, где $f(x)$ – некоторая функция, а $y’(x)$ – производная или скорость изменения искомой функции. Оно решается обычным интегрированием: $$y(x)=\int f(x)dx.$$
Второй простейший тип называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Такое уравнение выглядит следующим образом $y’(x)=f(x)\cdot g(y)$. Видно, что зависимая переменная $y$ также входит в состав конструируемой функции. Уравнение решается очень просто – нужно "разделить переменные", то есть привести его к виду $y’(x)/g(y)=f(x)$ или $dy/g(y)=f(x)dx$. Остается проинтегрировать обе части $$\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$$ – это и есть решение дифференциального уравнения разделяющегося типа.
Последний простой тип – это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид $y’+p(x)y=q(x)$. Здесь $p(x)$ и $q(x)$ – некоторые функции, а $y=y(x)$ – искомая функция. Для решения такого уравнения применяют уже специальные методы (метод Лагранжа вариации произвольной постоянной, метод подстановки Бернулли).
Есть более сложные виды уравнений – уравнения второго, третьего и вообще произвольного порядка, однородные и неоднородные уравнения, а также системы дифференциальных уравнений. Для их решения нужна предварительная подготовка и опыт решения более простых задач.
Большое значение для физики и, что неожиданно, финансов имеют так называемые дифференциальные уравнения в частных производных. Это значит, что искомая функция зависит от нескольких переменных одновременно. Например, уравнение Блека-Шоулса из области финансового инжиниринга описывает стоимость опциона (вид ценной бумаги) в зависимости от его доходности, размера выплат, а также сроков начала и конца выплат. Решение дифференциального уравнения в частных производных довольно сложное, обычно нужно использовать специальные программы, такие как Matlab или Maple.
Пример применения дифференциального уравнения в экономике
Приведем, как и было обещано, простой пример решения дифференциального уравнения. Вначале поставим задачу.
Для некоторой фирмы функция маржинальной выручки от продажи своей продукции имеет вид $MR=10-0,2q$. Здесь $MR$ – маржинальная выручка фирмы, а $q$ – объем продукции. Нужно найти общую выручку.
Как видно из задачи, это прикладной пример из микроэкономики. Множество фирм и предприятий постоянно сталкивается с подобными расчетами в ходе своей деятельности.
Приступаем к решению. Как известно из микроэкономики, маржинальная выручка представляет собой производную от общей выручки, причем выручка равна нулю при нулевом уровне продаж.
С математической точки задача свелась к решению дифференциального уравнения $R’=10-0,2q$ при условии $R(0)=0$.
Проинтегрируем уравнение, взяв первообразную функцию от обеих частей, получим общее решение: $$R(q) = \int (10-0,2q)dq = 10 q-0,1q^2+C. $$
Чтобы найти константу $C$, вспомним условие $R(0)=0$. Подставим: $$R(0) =0-0+C = 0. $$ Значит C=0 и наша функция общей выручки принимает вид $R(q)=10q-0,1q^2$. Задача решена.
Другие примеры по разным типам ДУ собраны на странице:
Вспомним задачу, которая стояла перед нами при нахождении определенных интегралов:
или dy = f(x)dx. Ее решение:
и сводится она к вычислению неопределенного интеграла. На практике чаще встречается более сложная задача: найти функцию y , если известно, что она удовлетворяет соотношению вида
Это соотношение связывает независимую переменную x , неизвестную функцию y и ее производные до порядка n включительно, называются .
В дифференциальное уравнение входит функция под знаком производных (или дифференциалов) того или иного порядка. Порядок наивысшей называется порядком (9.1).
Дифференциальные уравнения:
- первого порядка,
Второго порядка,
- пятого порядка и т. д.
Функция, которая удовлетворяет данному дифференциальному уравнению, называется его решением, или интегралом. Решить его - значит найти все его решения. Если для искомой функции y удалось получить формулу, которая дает все решения, то мы говорим, что нашли его общее решение, или общий интеграл.
Общее решение содержит n произвольных постоянных и имеет вид
Если получено соотношение, которое связывает x, y и n произвольных постоянных, в виде, не разрешенном относительно y -
то такое соотношение называется общим интегралом уравнения (9.1).
Задача Коши
Каждое конкретное решение, т. е. каждая конкретная функция, которая удовлетворяет данному дифференциальному уравнению и не зависит от произвольных постоянных, называется частным решением, или частным интегралом. Чтобы получить частные решения (интегралы) из общих, надо постоянным придают конкретные числовые значения.
График частного решения называется интегральной кривой. Общее решение, которое содержит все частные решения, представляет собой семейство интегральных кривых. Для уравнения первого порядка это семейство зависит от одной произвольной постоянной, для уравнения n -го порядка - от n произвольных постоянных.
Задача Коши заключается в нахождении частного решение для уравнения n -го порядка, удовлетворяющее n начальным условиям:
по которым определяются n постоянных с 1 , с 2 ,..., c n.
Дифференциальные уравнения 1-го порядка
Для неразрешенного относительно производной дифференциальное уравнения 1-го порядка имеет вид
или для разрешенного относительно
Пример 3.46 . Найти общее решение уравнения
Решение. Интегрируя, получим
где С - произвольная постоянная. Если придадим С конкретные числовые значения, то получим частные решения, например,
Пример 3.47 . Рассмотрим возрастающую денежную сумму, положенную в банк при условии начисления 100 r сложных процентов в год. Пусть Yo начальная денежная сумма, а Yx - по истечении x лет. При начислении процентов один раз в год,получим
где x = 0, 1, 2, 3,.... При начислении процентов два раза в год, получим
где x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... При начислении процентов n раз в год и если x принимает последовательно значения 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., тогда
Обозначить 1/n = h , тогда предыдущее равенство будет иметь вид:
При н еограниченном увеличении n (при ) в пределе приходем к процессу возрастания денежной суммы при непрерывном начислении процентов:
таким образом видно, что при непрерывном изменении x закон изменения денежной массы выражается дифференциальным уравнением 1- го порядка. Где Y x - неизвестная функция, x - независимая переменная, r - постоянная. Решим данное уравнение, для этого перепишем его следующим образом:
откуда , или , где через P обозначено e C .
Из начальных условий Y(0) = Yo , найдем P: Yo = Pe o , откуда, Yo = P. Следовательно, решение имеет вид:
Рассмотрим вторую экономическую задачу. Макроэкономические модели тоже описываются линейным дифференциальным уравнениям 1-го порядка, описывающим изменение дохода или выпуска продукции Y как функций времени.
Пример 3.48 . Пусть национальный доход Y возрастает со скоростью, пропорциональной его величине:
и пусть, дефицит в расходах правительства прямо пропорционален доходу Y с коэффициентом пропорциональности q . Дефицит в расходах приводит к возрастанию национального долга D:
Начальные условия Y = Yo и D = Do при t = 0. Из первого уравнения Y= Yoe kt . Подставляя Y получаем dD/dt = qYoe kt . Общее решение имеет вид
D = (q/ k) Yoe kt +С, где С = const, которая определяется из начальных условий. Подставляя начальные условия, получаем Do = (q/ k)Yo + С. Итак, окончательно,
D = Do +(q/ k)Yo (e kt -1),
отсюда видно, что национальный долг возрастает с той же относительной скоростью k , что и национальный доход.
Рассмотрим ростейшие дифференциальные уравнения n -го порядка, это уравнения вида
Его общее решение получитм с помощью n раз интегрирований.
Пример 3.49. Рассмотрим пример y """ = cos x.
Решение. Интегрируя, находим
Общее решение имеет вид
Линейные дифференциальные уравнения
В экономике большое применение имеют , рассмотрим решение таких уравнений. Если (9.1) имеет вид:
то оно называется линейным, где рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) - заданные функции. Если f(x) = 0, то (9.2) называется однородными, в противном случае - неоднородным. Общее решение уравнения (9.2) равно сумме какого-либо его частного решения y(x) и общего решения однородного уравнения соответствующего ему:
Если коэффициенты р o (x), р 1 (x),..., р n (x) постоянные, то (9.2)
(9.4) называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами порядка n .
Для (9.4) имеет вид:
Можно положить без ограничения общности р o = 1 и записать (9.5) в виде
Будем искать решение (9.6) в виде y = e kx , где k - константа. Имеем: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Подставим полученные выражения в (9.6), будем иметь:
(9.7) есть алгебраическое уравнение, его неизвестным является k , оно называется характеристическим. Характеристическое уравнение имеет степень n и n корней, среди которых могут быть как кратные, так и комплексные. Пусть k 1 , k 2 ,..., k n - действительные и различные, тогда - частные решения (9.7), а общее
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
Его характеристическое уравнение имеет вид
(9.9)
его дискриминант D = р 2 - 4q в зависимости от знака D возможны три случая.
1. Если D>0, то корни k 1 и k 2 (9.9) действительны и различны, и общее решение имеет вид:
Решение. Характеристическое уравнение: k 2 + 9 = 0, откуда k = ± 3i, a = 0, b = 3, общее решение имеет вид:
y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.
Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка применяются при изучении экономической модели паутинообразного типа с запасами товаров, где скорость изменения цены P зависит от величины запаса (см. параграф 10). В случае если спрос и предложение являются линейными функциями цены, то есть
а - есть постоянная, определяющая скорость реакции, то процесс изменения цены описывается дифференциальным уравнением:
За частное решения можно взять постоянную
имеющую смысл цены равновесия. Отклонение удовлетворяет однородному уравнению
(9.10)
Характеристическое уравнение будет следующее:
В случае член положителен. Обозначим . Корни характеристического уравнения k 1,2 = ± i w, поэтому общее решение (9.10) имеет вид:
где C и произвольные постоянные, они определяются из начальных условий. Получили закон изменения цены во времени:
Введите свое дифференциальное уравнение, для ввода производной используется апостроa """, нажмите submit получите решениеЧасто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение дифуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?
Однако мы постараемся вам показать, что дифуры – это не так сложно, как кажется.
Основные понятия теории дифференциальных уравнений
Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х) , которая обратит уравнение в тождество.
Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.
Дифференциальное уравнение (ДУ ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.
Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.
Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.
Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.
Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.
Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:
Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.
Примеры таких уравнений:
Уравнения с разделяющимися переменными
В общем виде этот тип уравнений выглядит так:
Приведем пример:
Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:
После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Такие уравнения имеют вид:
Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:
Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).
Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и взять их “с наскока” будет довольно сложно.
Пример решения ДУ с разделяющимися переменными
Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.
Сначала перепишем производную в более привычном виде:
Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все "игреки", а в другой – "иксы":
Теперь осталось проинтегрировать обе части:
Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:
Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему "Как решать дифференциальные уравнения":