Как сложить и вычесть десятичные дроби. Дроби. Сложение десятичных дробей. Правило вычитания десятичных дробей

Сложение десятичных дробей выполняется, как и сложение натуральных чисел, поразрядно. Сотые складывают с сотыми, десятые с десятыми, единицы с единицами, десятки с десятками и так далее.

Десятичные дроби удобнее складывать "в столбик". Для этого: записываем первую десятичную дробь, под ней поразрядно записываем вторую дробь так, чтобы запятая оказалась под запятой. Складываем поразрядно, начиная с наименьшего разряда. Запятая в полученной сумме ставится под запятыми в слагаемых.

Сложение натурального числа с десятичной дробью

Любое натуральное число можно представить в виде десятичной дроби. Для этого нужно поставить запятую после разряда единиц и приписать после запятой нужное количество нулей. Сложение выполнять по правилу сложения десятичных дробей.

Является сложение десятичных дробей . В этой статье мы рассмотрим правила сложения конечных десятичных дробей, на примерах разберем, как проводится сложение конечных десятичных дробей столбиком, а также остановимся на принципах сложения бесконечных периодических и непериодических десятичных дробей. В заключение остановимся на сложении десятичных дробей с натуральными числами, обыкновенными дробями и смешанными числами.

Отметим, что в этой статье мы будем говорить лишь о сложении положительных десятичных дробей (смотрите положительные и отрицательные числа). Остальные варианты покрываются материалом статей сложение рациональных чисел и сложение действительных чисел .

Навигация по странице.

Общие принципы сложения десятичных дробей

Пример.

Выполните сложение десятичной дроби 0,43 и десятичной дроби 3,7 .

Решение.

Десятичной дроби 0,43 соответствует обыкновенная дробь 43/100 , а десятичной дроби 3,7 – обыкновенная дробь 37/10 (при необходимости смотрите перевод конечных десятичных дробей в обыкновенные). Таким образом, 0,43+3,7=43/100+37/10 .

На этом сложение конечных десятичных дробей завершено.

Ответ:

4,13 .

Теперь добавим к рассмотрению периодические десятичные дроби.

Пример.

Сложите конечную десятичную дробь 0,2 с периодической десятичной дробью 0,(45) .

Решение.

Тогда .

Ответ:

0,2+0,(45)=0,65(45) .

Теперь остановимся на принципе сложения бесконечных непериодических десятичных дробей.

Напомним, что бесконечные непериодические десятичные дроби в отличие от конечных и периодических десятичных дробей не могут быть представлены в виде обыкновенных дробей (они представляют иррациональные числа), поэтому сложение бесконечных непериодических дробей не может быть сведено к сложению обыкновенных дробей.

При выполнении сложения бесконечных непериодических дробей их заменяют приближенными значениями, то есть, предварительно проводят их округление (смотрите округление чисел ) до некоторого разряда. Повышая точность, с которой берутся приближенные значения исходных бесконечных непериодических десятичных дробей, получается более точное значение результата сложения. Таким образом, сложение бесконечных непериодических десятичных дробей сводится к сложению конечных десятичных дробей.

Рассмотрим решение примера.

Пример.

Проведите сложение бесконечных непериодических десятичных дробей 4,358… и 11,11002244… .

Решение.

Округлим складываемые десятичные дроби до сотых (до тысячных мы уже не сможем округлить дробь 4,358… , так как значение разряда десятитысячных неизвестно), имеем 4,358…≈4,36 и 11,11002244…≈11,11 . Теперь осталось сложить конечные десятичные дроби: .

Ответ:

4,358…+11,11002244…≈15,47 .

В заключение этого пункта скажем, что для сложения положительных десятичных дробей характерны все свойства сложения натуральных чисел . То есть, сочетательное свойство сложения позволяет однозначно определить сложение трех и большего количества десятичных дробей, а переместительное свойство сложения позволяет переставлять складываемые десятичные дроби местами.

Сложение десятичных дробей столбиком

Достаточно удобно выполнять сложение конечных десятичных дробей столбиком. Этот способ позволяет обойтись без перевода складываемых десятичных дробей в обыкновенные дроби.

Чтобы выполнить сложение десятичных дробей столбиком , надо:

• записать одну дробь под другой так, чтобы одинаковые разряды оказались друг под другом, а запятая под запятой (для удобства можно уравнять количество десятичных знаков, приписав к одной из дробей справа некоторое количество нулей);
• дальше, не обращая внимания на запятые, выполнить сложение так, как выполняется сложение столбиком натуральных чисел ;
• в полученной сумме поставить десятичную запятую так, чтобы она находилась под десятичными запятыми слагаемых.

Для ясности рассмотрим пример сложения десятичных дробей столбиком.

Пример.

Проведите сложение десятичных дробей 30,265 и 1 055,02597 .

Решение.

Выполним сложение десятичных дробей столбиком.

Для начала уравняем количество десятичных знаков в складываемых дробях. Для этого нужно дописать два нуля справа в дроби 30,265 , при этом получится равная ей дробь 30,26500 .

Теперь записываем дроби 30,26500 и 1 055,02597 в столбик, чтобы соответствующие разряды были друг под другом:

Выполняем сложение по правилам сложения в столбик, не обращая внимания на запятые:

Осталось лишь поставить десятичную запятую в полученном числе, после чего сложение десятичных дробей столбиком принимает законченный вид:

Ответ:

30,26500+1 055,02597=1 085,29097 .

Сложение десятичных дробей с натуральными числами

Сразу озвучим правило сложения десятичных дробей с натуральными числами : чтобы сложить десятичную дробь и натуральное число нужно данное натуральное число прибавить к целой части десятичной дроби, а дробную часть оставить прежней. Это правило относится как к конечным десятичным дробям, так и к бесконечным.

Разберем пример применения этого правила.

Пример.

Вычислите сумму десятичной дроби 6,36 и натурального числа 48 .

Решение.

Целая часть десятичной дроби 6,36 равна 6 , если к ней прибавить натуральное число 48 , то мы получим число 54 . Таким образом, 6,36+48=54,36 .

Ответ:

6,36+48=54,36 .

Сложение десятичных дробей с обыкновенными дробями и смешанными числами

Сложение конечных десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби с обыкновенной дробью или смешанным числом можно свести к сложению обыкновенных дробей или сложению обыкновенной дроби и смешанного числа. Для этого десятичную дробь достаточно заменить равной ей обыкновенной дробью.

Пример.

Выполните сложение десятичной дроби 0,45 и обыкновенной дроби 3/8 .

Решение.

Заменим десятичную дробь 0,45 обыкновенной дробью: . После этого сложение десятичной дроби 0,45 и обыкновенной дроби 3/8 сводится к сложению обыкновенных дробей 9/20 и 3/8 . Закончим вычисления: . При надобности полученную обыкновенную дробь можно перевести в десятичную.

Сложение и вычитание десятичных дробей аналогично сложению и вычитанию натуральных чисел, но с определенными условиями.

Правило. производится по разрядам целой и дробной части как натуральных чисел.

При письменном сложении и вычитании десятичных дробей запятая, отделяющая целую часть от дробной, должна находиться у слагаемых и суммы или у уменьшаемого, вычитаемого и разности в одном столбце (запятая под запятой от записи условия до конца вычисления).

Сложение и вычитание десятичных дробей в строку:

243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

843,217 — 700,628 = (800 — 700) + 40 + 3 + (0,2 — 0,6) + (0,01 — 0,02) + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 — 0,6) + (0,01 — 0,02) + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 — 0,02) + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

Сложение и вычитание десятичных дробей в столбик:

Сложение десятичных дробей требует верхней дополнительной строки для записи чисел, когда сумма разряда переходит через десяток. Вычитание десятичных дробей требует верхней дополнительной строки для того, чтобы отметить разряд, в котором одалживается 1.

Если справа от слагаемого или уменьшаемого не хватает разрядов дробной части, то справа в дробной части можно дописывать столько нулей (увеличивать разрядность дробной части), сколько разрядов в другом слагаемом или уменьшаемом.

Умножение десятичных дробей производится так же, как и умножение натуральных чисел, по тем же правилам, но в произведении ставится запятая по сумме разрядов множителей в дробной части, считая справа налево (сумма разрядов множителей - это количество разрядов после запятой у множителей, вместе взятых).

Пример:

При умножении десятичных дробей в столбик первая справа значащая цифра подписывается под первой справа значащей цифрой, как и в натуральных числах:

Запись умножения десятичных дробей в столбик:

Запись деления десятичных дробей в столбик:

Подчеркнутые знаки - это знаки, за которые переносится запятая, потому что делитель должен быть целым числом.

Правило. При делении дробей делитель десятичной дроби увеличивается на столько разрядов, сколько разрядов в дробной его части. Чтобы дробь не изменилась, на столько же разрядов увеличивается и делимое (в делимом и делителе запятая переносится на одно и то же число знаков). Запятая ставится в частном на том этапе деления, когда целая часть дроби разделена.

Для десятичных дробей, как и для натуральных чисел, сохраняется правило: на ноль десятичную дробь делить нельзя!

Сложение десятичных дробей можно выполнить двумя способами:

1. Представить десятичные дроби в виде обыкновенных дробей и выполнить их сложение.
2. Выполнить сложение десятичных дробей столбиком.

Сложение путём перевода в обыкновенные дроби

При сложении десятичных дробей путём их перевода в обыкновенные дроби следует руководствоваться следующим правилом:

1. Нужно сравнить количество десятичных знаков у десятичных дробей.
2. Если количество десятичных знаков одинаково, то переводим десятичные дроби в обыкновенные и складываем их.
3. Если количество десятичных знаков различно, то сначала нужно уравнять их количество, приписав справа к десятичной дроби с меньшим количеством знаков необходимое число нулей.

Пример 1 . Выполнить сложение чисел 3,1 и 4,7.

Решение . Так как количество десятичных знаков одинаково, то просто переводим десятичные дроби в обыкновенные и складываем. Десятичной дроби 3,1 соответствует обыкновенная дробь , а десятичной дроби 4,7 - обыкновенная дробь , значит:

Пример 2 . Сложить числа 3,45 и 7,368.

Решение . Так как количество десятичных знаков различно, то сначала уравняем их количество, приписав справа к дроби 3,45 цифру 0. Десятичной дроби 3,450 соответствует обыкновенная дробь , а десятичной дроби 7,368 - обыкновенная дробь , значит:

Сложение десятичных дробей столбиком

Десятичные дроби можно складывать столбиком.

При сложении десятичных дробей столбиком следует руководствоваться следующим правилом:

1. Записать десятичные дроби в столбик так, чтобы цифры одинаковых разрядов стояли друг под другом. Запятые десятичных дробей так же должны стоять друг под другом.
2. Если количество десятичных знаков у дробей различно, для удобства можно уравнять их число, приписав справа к десятичной дроби с меньшим количеством десятичных знаков необходимое число нулей.
3. Не обращая внимание на запятые, выполнить сложение так, как выполняется сложение столбиком натуральных чисел.
4. В полученной сумме поставить запятую так, чтобы она стояла под запятыми слагаемых.

Пример 1 . Сложить числа 3,1 и 4,7.

Решение . Выполняем сложение так, как выполняется сложение столбиком натуральных чисел, не обращая внимание на запятые:

Пример 2 . Сложить 3,45 и 7,368.

Решение . Выполняем сложение так, как выполняется сложение столбиком натуральных чисел. Для удобства, можно уравнять количество десятичных знаков в складываемых дробях:

Сложение десятичной дроби с натуральным числом

Правило сложения десятичных дробей с натуральными числами:

Чтобы сложить десятичную дробь и натуральное число, нужно данное натуральное число прибавить к целой части десятичной дроби, а дробную часть оставить без изменений.

Пример . Вычислить сумму 14,3 и 29.

Решение . Для удобства сложения, любое натуральное число можно представить в виде десятичной дроби. Для этого нужно поставить запятую после разряда единиц и приписать после запятой нужное количество нулей. Сложение выполняется по правилу сложения десятичных дробей столбиком:

Сложение десятичной дроби с обыкновенной дробью

Правило сложения десятичных дробей с обыкновенной дробью.

Изучаем другие действия, которые можно совершать с десятичными дробями. В этом материале мы узнаем, как правильно подсчитать разность десятичных дробей. Отдельно разберем правила для конечных и бесконечных дробей (как периодических, так и непериодических), а также посмотрим, как считать разность дробей столбиком. Во второй части мы объясним, как вычесть десятичную дробь из натурального числа, обыкновенной дроби, смешанного числа.

Отметим заранее, что в этой статье рассмотрены только случаи, когда меньшая дробь вычитается из большей, т.е. результат этого действия положителен; другие случаи относятся к нахождению разности рациональных и действительных чисел и должны быть объяснены отдельно.

Процесс вычисления как конечных, так и бесконечных периодических десятичных дробей можно свести к нахождению разности дробей обыкновенных. Раньше мы говорили о том, что десятичные дроби можно записывать в виде обыкновенных дробей. Исходя из этого правила, разберем несколько примеров нахождения разности.

Пример 1

Найдите разность 3 , 7 - 0 , 31 .

Решение

Переписываем десятичные дроби в виде обыкновенных: 3 , 7 = 37 10 и 0 , 31 = 31 100 .

Что делать потом, мы уже изучали. Мы получили ответ, который переводим обратно в десятичную дробь: 339 100 = 3 , 39 .

Подсчеты, связанные с десятичными дробями, удобно производить столбиком. Как же пользоваться этим методом? Покажем, решив задачу.

Пример 2

Вычислите разность между периодической дробью 0 , (4) и периодической десятичной дробью 0 , 41 (6) .

Решение

Переведем записи периодических дробей в обыкновенные и подсчитаем.

0 , 4 (4) = 0 , 4 + 0 , 004 + . . . = 0 , 4 1 - 0 , 1 = 0 , 4 0 , 9 = 4 9 . 0 , 41 (6) = 0 , 41 + (0 , 006 + 0 , 0006 + . . .) = 41 100 + 0 , 006 0 , 9 = = 41 100 + 6 900 = 41 100 + 1 150 = 123 300 + 2 300 = 125 300 = 5 12

Итого: 0 , (4) - 0 , 41 (6) = 4 9 - 5 12 = 16 36 - 15 36 = 1 36

Если нужно, ответ мы можем представить в виде десятичной дроби:

Ответ: 0 , (4) − 0 , 41 (6) = 0 , 02 (7) .

Разберем далее, как найти разность, если у нас в условиях стоят бесконечные непериодические дроби. Такой случай также можно свести к нахождению разности конечных десятичных дробей, для чего понадобится округлить бесконечные дроби до определенного разряда (обычно самого меньшего из возможных).

Пример 3

Найдите разность 2 , 77369 … - 0 , 52 .

Решение

Вторая дробь в условии – конечная, а первая – бесконечная непериодическая. Мы можем округлить ее до четырех знаков после запятой: 2 , 77369 … ≈ 2 , 7737 . После этого можно выполнять вычитание: 2 , 77369 … − 0 , 52 ≈ 2 , 7737 − 0 , 52 .

Ответ: 2 , 2537 .

Вычитание столбиком – быстрый и наглядный способ узнать разность конечных десятичных дробей. Процесс подсчета очень схож с аналогичным для натуральных чисел.

1. если в указанных десятичных дробях отличается количество знаков после запятой, уравняем его. Для этого допишем к нужной дроби нули;
2. запишем вычитаемую дробь под уменьшаемой, разместив значения разрядов строго друг под другом, а запятую под запятой;
3. выполним подсчет столбиком так же, как мы это делаем для натуральных чисел, запятую при этом игнорируем;
4. в ответе отделим нужное количество чисел запятой так, чтобы она располагалась на том же месте.

Разберем конкретный пример использования этого метода на практике.

Пример 4

Найдите разность 4 452 , 294 - 10 , 30501 .

Решение

Для начала выполним первый шаг – уравняем количество десятичных знаков. Допишем два нуля в первую дробь и получим дробь вида 4 452 , 29400 , значение которой идентично исходной.

Запишем получившиеся числа друг под другом в нужном порядке, чтобы получился столбик:

Считаем как обычно, игнорируя запятые:

В получившемся ответе поставим запятую в нужном месте:

Подсчеты окончены.

Наш результат: 4 452 , 294 − 10 , 30501 = 4 441 , 98899 .

Найти разность между конечной десятичной дробью и натуральным числом легче всего описанным выше способом – столбиком. Для этого число, из которого мы вычитаем, необходимо записать в виде десятичной дроби, в дробной части которой стоят нули.

Пример 5

Вычислите 15 - 7 , 32 .

Запишем уменьшаемое число 15 в виде дроби 15 , 00 , поскольку дробь, которую нам нужно вычесть, имеет два знака после запятой. Далее выполняем подсчет столбиком, как обычно:

Таким образом, 15 − 7 , 32 = 7 , 68 .

Если из натурального числа нам нужно вычесть бесконечную периодическую дробь, то мы опять же сводим эту задачу к аналогичному вычислению. Заменяем периодическую десятичную дробь на обыкновенную.

Пример 6

Вычислите разность 1 - 0 , (6) .

Решение

Указанной в условии периодической десятичной дроби соответствует обычная 2 3 .

Считаем: 1 − 0 , (6) = 1 − 2 3 = 1 3 .

Полученный ответ можно перевести в периодическую дробь 0 , (3) .

Если данная в условии дробь непериодическая, поступаем так же, предварительно округлив ее до нужного разряда.

Пример 7

Отнимите 4 , 274 … от 5 .

Решение

Указанную бесконечную дробь мы округлим до сотых и получим 4 , 274 … ≈ 4 , 27 .

После этого вычисляем 5 − 4 , 274 … ≈ 5 − 4 , 27 .

Преобразуем 5 в 5 , 00 и запишем столбик:

В итоге 5 − 4 , 274 … ≈ 0 , 73 .

Если перед нами стоит обратная задача – вычесть натуральное число из десятичной дроби, то мы выполняем вычитание из целой части дроби, а дробную часть не трогаем совсем. Мы поступаем так и с конечными, и с бесконечными дробями.

Пример 8

Найдите разность 37 , 505 – 17 .

Решение

Отделяем от дроби целую часть 37 и вычитаем требуемое число из нее. Получаем 37 , 505 − 17 = 20 , 505 .

Эту задачу также необходимо свести к вычитанию обыкновенных дробей – как в случае со смешанными числами, так и с десятичными дробями.

Пример 9

Вычислите разность 0 , 25 - 4 5 .

Решение

Представим 0 , 25 в виде обыкновенной дроби – 0 , 25 = 25 100 = 1 4 .

Теперь нам нужно найти разность между 1 4 и 4 5 .

Считаем: 4 5 − 0 , 25 = 4 5 − 1 4 = 16 20 − 5 20 = 11 20 .

Запишем ответ в виде десятичной записи: 0 , 55 .

Если в условии стоит смешанное число, из которого надо вычесть конечную или периодическую десятичную дробь, то поступаем аналогично.

Пример 10

Условие: отнимите 0 , (18) от 8 4 11 .

Перепишем периодическую дробь в виде обыкновенной. 0 , (18) = 0 , 18 + 0 , 0018 + 0 , 000018 + . . . = 0 , 18 1 - 0 , 01 = 0 , 18 0 , 99 = 18 99 = 2 11

Получается, что 8 4 11 - 0 , (18) = 8 4 11 - 2 11 = 8 2 11 .

В виде десятичной дроби ответ можно записать как 8 , (18) .

Таким же образом мы действуем, когда вычитаем смешанное число или обыкновенную дробь из конечной или периодической дроби.

Пример 11

Подсчитайте 9 40 - 0 , 03 .

Решение

Заменяем дробь 0 , 03 на обыкновенную 3 100 .

У нас получается, что: 9 40 − 0 , 03 = 9 40 − 3 100 = 90 400 − 12 400 = 78 400 = 39 200

Ответ можно оставить так или преобразовать в десятичную дробь 0 , 195 .

Если нам требуется выполнять вычитание с участием бесконечных непериодических дробей, то нам нужно будет свести их к конечным. Со смешанными числами поступаем аналогично. Для этого запишем обыкновенную дробь или смешанное число в виде десятичной дроби и округлим вычитаемую дробь до определенного разряда. Проиллюстрируем нашу мысль примером:

Пример 12

Отнимите 4 , 38475603 … . из 10 2 7 .

Решение

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

В итоге 10 2 7 - 4 , 38475603 . . . = 10 , (285714) - 4 , 38475603 . . . .

Теперь округлим вычитаемые числа до седьмого знака: 10 , (285714) = 10 , 285714285714 … ≈ 10 , 2857143 и 4 , 38475603 … ≈ 4 , 3847560

Тогда 10 , (285714) − 4 , 38475603 … ≈ 10 , 2857143 − 4 , 3847560 .

Единственное, что осталось сделать – вычесть одну конечную десятичную дробь из другой. Выполним подсчет столбиком:

Ответ: 10 2 7 - 4 , 38475603 . . . ≈ 5 , 9009583

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter