Обычные дроби. Что такое числовая дробь

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

Обыкновенная (или простая ) дробь - запись рационального числа в виде ± m n {\displaystyle \pm {\frac {m}{n}}} или ± m / n , {\displaystyle \pm m/n,} где n ≠ 0. {\displaystyle n\neq 0.} Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель - знаменателем .

Обозначения обыкновенных дробей

Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:

Правильные и неправильные дроби

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной , и представляет рациональное число, по модулю большее или равное единице.

Например, дроби 3 5 {\displaystyle {\frac {3}{5}}} , 7 8 {\displaystyle {\frac {7}{8}}} и - правильные дроби, в то время как 8 3 {\displaystyle {\frac {8}{3}}} , 9 5 {\displaystyle {\frac {9}{5}}} , 2 1 {\displaystyle {\frac {2}{1}}} и 1 1 {\displaystyle {\frac {1}{1}}} - неправильные дроби. Всякое отличное от нуля целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.

Смешанные дроби

Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой .

Например, 2 3 7 = 2 + 3 7 = 14 7 + 3 7 = 17 7 {\displaystyle 2{\frac {3}{7}}=2+{\frac {3}{7}}={\frac {14}{7}}+{\frac {3}{7}}={\frac {17}{7}}} . В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь, а также из-за более громоздкой записи и менее удобных вычислений.

Составные дроби

Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже - наклонных) черт:

1 2 / 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{2}}/{\frac {1}{3}}} или 1 / 2 1 / 3 {\displaystyle {\frac {1/2}{1/3}}} или 12 3 4 26 {\displaystyle {\frac {12{\frac {3}{4}}}{26}}}

Десятичные дроби

Десятичной дробью называют позиционную запись дроби. Она выглядит следующим образом:

± a 1 a 2 … a n , b 1 b 2 … {\displaystyle \pm a_{1}a_{2}\dots a_{n}{,}b_{1}b_{2}\dots }

Пример: 3,141 5926 {\displaystyle 3{,}1415926} .

Часть записи, которая стоит до позиционной запятой, является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой - дробной частью . Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную, которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью .

Вообще говоря, для позиционной записи числа́ можно использовать не только десятичную систему счисления, но и другие (в том числе и специфические, такие, как фибоначчиева).

Значение дроби и основное свойство дроби

Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.

0 , 999... = 1 {\displaystyle 0,999...=1} - две разные дроби соответствуют одному числу.

Действия с дробями

В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см. Десятичная дробь .

Приведение к общему знаменателю

Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать (привести ) к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби: a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} и c d {\displaystyle {\frac {c}{d}}} . Порядок действий:

После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны M ). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве M любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение.

Сравнение

Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше.

Пример. Сравниваем 3 4 {\displaystyle {\frac {3}{4}}} и 4 5 {\displaystyle {\frac {4}{5}}} . НОК(4, 5) = 20. Приводим дроби к знаменателю 20.

3 4 = 15 20 ; 4 5 = 16 20 {\displaystyle {\frac {3}{4}}={\frac {15}{20}};\quad {\frac {4}{5}}={\frac {16}{20}}}

Следовательно, 3 4 < 4 5 {\displaystyle {\frac {3}{4}}<{\frac {4}{5}}}

Сложение и вычитание

Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:

1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} + = + = 5 6 {\displaystyle {\frac {5}{6}}}

НОК знаменателей (здесь 2 и 3) равно 6. Приводим дробь 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} к знаменателю 6, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 3.
Получилось 3 6 {\displaystyle {\frac {3}{6}}} . Приводим дробь 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 2. Получилось 2 6 {\displaystyle {\frac {2}{6}}} .
Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:

1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} - = - 1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}} = 1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}}

НОК знаменателей (здесь 2 и 4) равно 4. Приводим дробь 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} к знаменателю 4, для этого надо числитель и знаменатель умножить на 2. Получаем 2 4 {\displaystyle {\frac {2}{4}}} .

Умножение и деление

Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:

a b ⋅ c d = a c b d . {\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.}

В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же:

2 3 ⋅ 3 = 6 3 = 2 {\displaystyle {\frac {2}{3}}\cdot 3={\frac {6}{3}}=2}

В общем случае, числитель и знаменатель результирующей дроби могут не быть взаимно простыми, и может потребоваться сокращение дроби, например:

5 8 ⋅ 2 5 = 10 40 = 1 4 . {\displaystyle {\frac {5}{8}}\cdot {\frac {2}{5}}={\frac {10}{40}}={\frac {1}{4}}.}

Чтобы поделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить первую на дробь, обратную второй:

a b: c d = a b ⋅ d c = a d b c , c ≠ 0. {\displaystyle {\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}},\quad c\neq 0.}

Например,

1 2: 1 3 = 1 2 ⋅ 3 1 = 3 2 . {\displaystyle {\frac {1}{2}}:{\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{1}}={\frac {3}{2}}.}

Преобразование между разными форматами записи

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной

Дробь охотничья - компонент для снаряжения патронов, давно уже ставший неотъемлемой частью жизни любого охотника. Именно с ее помощью зачастую осуществляется поражение дичи (косули, утки, глухаря, тетерева, фазана). В отличие от других компонентов патрона, производство и внешний вид этого боеприпаса фактически не изменились за 150 лет, прошедших с ее изобретения.

Виды дроби

Так что же такое дробь? Это маленькие свинцовые шарики (по размерам до 5 мм), используемые для охоты на множество животных (например, тетерева, глухаря, зайца, фазана). Однако, существует немало ее видов:

Материал

По материалу, из какого ее делают:

Свинцовая . Использование свинца весьма широко распространено, поскольку этот материал обладает всеми необходимыми качествами - тяжелый, дешевый, легкоплавкий. Ее легко делать своими руками в домашних условиях. Однако такие дробины слишком мягкие, к тому же, свинец токсичен и нарушает экологию. На Западе подобные разновидности дроби для охоты под давлением «зеленых» сегодня фактически уже не используется.
Стальная . Такие боеприпасы не деформируется, но быстрее теряют скорость и повреждают канал ствола.
Каленая . Та же дробь свинцовая, однако в нее домешивают олово, мышьяк, сурьму или какие-либо иные химические вещества.
Плакированная . Дробь свинцовая, покрытая никелем или мельхиором. На данный момент лучший по характеристикам и самый дорогой вариант на рынке.

Диаметр

Помните, что классификация по диаметру различается в зависимости от страны-производителя (ниже будет приведена российская таблица, а для знакомства с зарубежной классификацией рекомендуется обратиться к материалам, предоставляемым страной-производителем).

Нумерация дроби в российской классификации:

Размер
Дробь 0000 (4/0) размер	5 мм диаметр
000 (3/0) размер	4,75 мм диаметр
00 (2/0) размер	4,5 мм диаметр
0 размер	4,25 мм диаметр
1 размер	4 мм диаметр
2 размер	3,75 мм диаметр
3 размер	3,5 мм диаметр
4 размер	3,25 мм диаметр
5 размер	3 мм диаметр
6 размер	2,75 мм диаметр
7 размер	2,5 мм диаметр
8 размер	2,25 мм диаметр
9 размер	2 мм диаметр
10 размер	1,75 мм диаметр
11 размер	1,50 мм диаметр
12 размер	1,25 мм диаметр - самая мелкая дробь

Как вы заметили, миллиметраж этих боеприпасов снижается на четверть (0,25) миллиметра при понижении размера.

Подобная классификация слишком громоздка, поэтому можно рассортировать дробь по-другому:

Мелкая (10-6 номер);
Средняя (5-1 номер);
Крупная (0, 00,000, 000);

Дробь, картечь или пуля?

Многие начинающие охотники часто путают эти понятия, поэтому было бы неплохо сделать разницу более очевидной:

Маленькие отцентрованные шарики, форма которых близка к сфере. Отлично подходит для мелкой дичи.

Боеприпас размером более 5 мм (используется для охоты на более крупную дичь, например - косулю).

Цельнометаллический снаряд. Существует немало их разновидностей, однако они применяются, как и картечь, для охоты на косуль, кабанов и прочую крупную дичь.

Какую дробь для какой дичи использовать

Многие охотники спрашивают, кого (гуся, тетерева, фазана, зайца, глухаря) нужно бить и какими именно снарядами? О том, кого и чем надо бить, смотрите ниже:

При определении необходимого номера дроби помните, что в дичь должны попасть около 4-5 дробинок, поэтому, при стрельбе по мелким целям (гусь, утка, заяц, фазан, глухарь) картечью в лучшем случае попадет 1-2 дробинки, а значит, вы оставите подранка. С другой стороны, если дробовая осыпь будет все-таки удовлетворительной, то дичь (утка, глухарь, тетерев, фазан, заяц) будет просто разорвана и потеряет всю свою ценность.

С другой стороны, стреляя слишком мелкими снарядами, вы не пробьете оперение тетерева или гуся, а также шкуру косули, поэтому стрелять вы будете впустую.

Как сделать точность боя выше с охотничьей дробью?

Многие спрашивают, какой смысл делать боеприпасы собственными руками, если есть неплохие магазинные навески? Если сделать дробь в домашних условиях, это будет намного дешевле, пусть она и проигрывает по качеству заводской. К тому же многие старые охотники предпочитают делать собственные боеприпасы (в зависимости от того, на кого идет охота: на тетерева, утку, глухаря, зайца или гуся) для уверенности в качестве боя. Литьем обычно получают картечь или средние/крупные номера. Свинец берут либо кабельный, либо аккумуляторный (клеммы) и смешивают в пропорции 1/3.

Делать дробь в домашних условиях можно по-разному, однако все варианты в той или иной мере связаны с литьем. Приведем один из таких способов:

Все начинается с плашки-дроболейки, которую необходимо сделать один раз, а впоследствии - пользоваться ею всю жизнь. Она выглядит как два куска металла с выемками, которые соединены шарниром с ручками. В обеих половинках делаем выемки под различные размеры дробинок (от картечи до 2 номера). Получившиеся полусферические выемки соединяются между собой канавками. Все канавки, собравшись вместе, выходят в желоб. Чем лучше выполнены канавки, тем выше будет качество картечи.
Заливаем расплавленный дробовой свинец (по указанному выше рецепту) в желоб, а после литья дробинки просто отрезают друг от друга ножницами по металлу.

Готово! Перед тем, как стрелять ей кого-либо, ее рекомендуется прокатать на дробокатке, иначе пострадает кучность и дальность боя (об охоте на косулю, глухаря, утку, гуся или тетерева и речи быть не может).

Хотите почувствовать себя сапером? Тогда этот урок - для вас! Потому что сейчас мы будем изучать дроби - это такие простые и безобидные математические объекты, которые по способности «выносить мозг» превосходят весь остальной курс алгебры.

Главная опасность дробей состоит в том, что они встречаются в реальной жизни. Этим они отличаются, например, от многочленов и логарифмов, которые можно пройти и спокойно забыть после экзамена. Поэтому материал, изложенный в данном уроке, без преувеличения можно назвать взрывоопасным.

Числовая дробь (или просто дробь) - это пара целых чисел, записанных через косую или горизонтальную черту.

Дроби, записанные через горизонтальную черту:

Те же самые дроби, записанные через косую черту:
5/7; 9/(−30); 64/11; (−1)/4; 12/1.

Обычно дроби записываются через горизонтальную черту - так с ними проще работать, да и выглядят они лучше. Число, записанное сверху, называется числителем дроби, а записанное снизу - знаменателем.

Любое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1. Например, 12 = 12/1 - получилась дробь из приведенного выше примера.

Вообще, в числитель и знаменатель дроби можно поставить любое целое число. Единственное ограничение - знаменатель должен быть отличен от нуля. Вспомните старое доброе правило: «На ноль делить нельзя!»

Если в знаменателе все-таки стоит ноль, дробь называется неопределенной. Такая запись не имеет смысла и не может участвовать в вычислениях.

Основное свойство дроби

Дроби a /b и c /d называются равными, если ad = bc .

Из этого определения следует, что одну и ту же дробь можно записать по-разному. Например, 1/2 = 2/4 , поскольку 1 · 4 = 2 · 2. Разумеется, существует множество дробей, которые не равны друг другу. Например, 1/3 ≠ 5/4 , поскольку 1 · 4 ≠ 3 · 5.

Возникает резонный вопрос: как найти все дроби, равные данной? Ответ дадим в форме определения:

Основное свойство дроби - числитель и знаменатель можно умножать на одно и то же число, отличное от нуля. При этом получится дробь, равная данной.

Это очень важное свойство - запомните его. С помощью основного свойства дроби можно упрощать и сокращать многие выражения. В будущем оно постоянно будет «всплывать» в виде различных свойств и теорем.

Неправильные дроби. Выделение целой части

Если числитель меньше знаменателя, такая дробь называется правильной. В противном случае (т.е. когда числитель больше или хотя бы равен знаменателю) дробь называется неправильной, и в ней можно выделить целую часть.

Целая часть записывается крупным числом спереди перед дробью и выглядит так (отмечена красным):

Чтобы выделить целую часть в неправильной дроби, надо выполнить три простых шага:

Найдите, сколько раз знаменатель помещается в числителе. Другими словами, найдите максимальное целое число, которое при умножении на знаменатель все равно будет меньше числителя (в крайнем случае - равно). Это число и будет целой частью, поэтому записываем его спереди;
Умножьте знаменатель на целую часть, найденную в предыдущем шаге, а результат вычтите из числителя. Полученный «огрызок» называется остатком от деления, он всегда будет положительным (в крайнем случае - ноль). Записываем его в числитель новой дроби;
Знаменатель переписываем без изменений.

Ну как, сложно? На первый взгляд, может быть и сложно. Но стоит немного потренироваться - и вы будете делать это почти устно. А пока взгляните на примеры:

Задача. Выделите целую часть в указанных дробях:

Во всех примерах целая часть выделена красным цветом, а остаток от деления - зеленым.

Обратите внимание на последнюю дробь, где остаток от деления оказался равным нулю. Получается, что числитель полностью разделился на знаменатель. Это вполне логично, ведь 24: 6 = 4 - суровый факт из таблицы умножения.

Если все делать правильно, числитель новой дроби обязательно будет меньше знаменателя, т.е. дробь станет правильной. Отмечу также, что лучше выделять целую часть в самом конце задачи, перед записью ответа. Иначе можно значительно усложнить вычисления.

Переход к неправильной дроби

Существует и обратная операция, когда мы избавляемся от целой части. Она называется переходом к неправильной дроби и встречается намного чаще, поскольку работать с неправильными дробями значительно проще.

Переход к неправильной дроби также выполняется в три шага:

Умножить целую часть на знаменатель. В результате могут получаться довольно большие числа, но нас это не должно смущать;
Прибавить полученное число к числителю исходной дроби. Результат записать в числитель неправильной дроби;
Переписать знаменатель - опять же, без изменений.

Вот конкретные примеры:

Задача. Переведите в неправильную дробь:

Для наглядности целая часть снова выделена красным цветом, а числитель исходной дроби - зеленым.

Рассмотрим случай, когда в числителе или знаменателе дроби стоит отрицательное число. Например:

В принципе, ничего криминального в этом нет. Однако работать с такими дробями бывает неудобно. Поэтому в математике принято выносить минусы за знак дроби.

Сделать это очень просто, если вспомнить правила:

«Плюс на минус дает минус». Поэтому если в числителе стоит отрицательное число, а в знаменателе - положительное (или наоборот), смело зачеркиваем минус и ставим его перед всей дробью;
«Минус на минус дает плюс». Когда минус стоит и в числителе, и в знаменателе, просто зачеркиваем их - никаких дополнительных действий не требуется.

Разумеется, эти правила можно применять и в обратном направлении, т.е. можно вносить минус под знак дроби (чаще всего - в числитель).

Случай «плюс на плюс» мы намеренно не рассматриваем - с ним, думаю, и так все понятно. Лучше посмотрим, как эти правила работают на практике:

Задача. Вынесите минусы из четырех дробей, записанных выше.

Обратите внимание на последнюю дробь: перед ней уже стоит знак минус. Однако он «сжигается» по правилу «минус на минус дает плюс».

Также не стоит перемещать минусы в дробях с выделенной целой частью. Эти дроби сначала переводят в неправильные - и лишь затем приступают к вычислениям.

С дробями мы сталкиваемся в жизни гораздо раньше, чем начинается их изучение в школе. Если разрезать целое яблоко пополам, то мы получим часть фрукта - ½. Разрежем ещё раз - будет ¼. Это и есть дроби. И все, казалось бы, просто. Для взрослого человека. Для ребенка же (а данную тему начинают изучать в конце младшей школы) абстрактные математические понятия ещё пугающе непонятны, и преподаватель должен доступно объяснить, что такое правильная дробь и неправильная, обыкновенная и десятичная, какие операции можно с ними совершать и, главное, для чего всё это нужно.

Какие бывают дроби

Знакомство с новой темой в школе начинается с обыкновенных дробей. Их легко узнать по горизонтальной черте, разделяющей два числа - сверху и снизу. Верхнее называется числителем, нижнее - знаменателем. Существует и строчный вариант написания неправильных и правильных обыкновенных дробей - через косую черту, например: ½, 4/9, 384/183. Такой вариант используется, когда высота строки ограничена и нет возможности применить «двухэтажную» форму записи. Почему? Да потому что она удобнее. Чуть позже мы в этом убедимся.

Помимо обыкновенных, существуют также десятичные дроби. Различить их очень просто: если в одном случае используется горизонтальная или наклонная черта, то в другом - запятая, разделяющая последовательности цифр. Посмотрим пример: 2,9; 163,34; 1,953. Мы намеренно воспользовались точкой с запятой в качестве разделителя, чтобы разграничить числа. Первое из них будет читаться так: «две целых, девять десятых».

Новые понятия

Вернемся к обыкновенным дробям. Они бывают двух видов.

Определение правильной дроби звучит следующим образом: это такая дробь, числитель которой меньше знаменателя. Почему это важно? Сейчас увидим!

У вас есть несколько яблок, разделенных на половинки. Всего - 5 частей. Как вы скажете: у вас «два с половиной» или «пять вторых» яблока? Конечно, первый вариант звучит естественнее, и при разговоре с друзьями мы воспользуемся им. А вот если потребуется посчитать, сколько фруктов достанется каждому, если в компании пять человек, мы запишем число 5/2 и разделим его на 5 - с точки зрения математики это будет нагляднее.

Итак, для наименования правильных и неправильных дробей правило таково: если в дроби можно выделить целую часть (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), то она является неправильной. Если этого сделать нельзя, как в случае с ½, 13/16, 9/10, она будет правильной.

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби одновременно умножить или разделить на одно и то же число, её величина не изменится. Представьте: торт порезали на 4 равные части и дали вам одну. Такой же торт порезали на восемь частей и дали вам две. Не всё ли равно? Ведь ¼ и 2/8 - это одно и то же!

Сокращение

Авторы задач и примеров в учебниках по математике зачастую стремятся запутать учеников, предлагая громоздкие в написании дроби, которые на самом деле можно сократить. Вот пример правильной дроби: 167/334, который, казалось бы, выглядит очень «страшно». Но на самом деле мы можем записать его как ½. Число 334 делится на 167 без остатка - проделав такую операцию, мы получим 2.

Смешанные числа

Неправильную дробь можно представить в форме смешанного числа. Это когда целая часть вынесена вперед и записана на уровне горизонтальной черты. Фактически выражение принимает вид суммы: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 и так далее.

Чтобы вынести целую часть, нужно разделить числитель на знаменатель. Остаток от деления записать сверху, над чертой, а целую часть - перед выражением. Таким образом, мы получаем две структурные части: целые единицы + правильную дробь.

Можно осуществить и обратную операцию - для этого нужно целую часть умножить на знаменатель и прибавить полученное значение к числителю. Ничего сложного.

Умножение и деление

Как ни странно, умножать дроби проще, чем складывать. Всего-то и требуется - продлить горизонтальную черту: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

С делением тоже всё просто: нужно перемножить дроби крест-накрест: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.

Сложение дробей

Что делать, если требуется осуществить сложение или а в знаменателе у них разные числа? Поступить так же, как с умножением, не получится - здесь следует понимать определение правильной дроби и её сущность. Нужно привести слагаемые к общему знаменателю, то есть в нижней части обеих дробей должны оказаться одинаковые числа.

Чтобы это осуществить, следует воспользоваться основным свойством дроби: умножить обе части на одно и то же число. Например, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Как же выбрать, к какому знаменателю приводить слагаемые? Это должно быть минимальное число, кратное обоим числам, стоящим в знаменателях дробей: для 1/3 и 1/9 это будет 9; для ½ и 1/7 - 14, потому что меньшего значения, делящегося без остатка на 2 и 7, не существует.

Использование

Для чего нужны неправильные дроби? Ведь гораздо удобнее сразу выделить целую часть, получить смешанное число - и дело с концом! Оказывается, если требуется выполнить умножение или деление двух дробей, выгоднее воспользоваться именно неправильными.

Возьмем следующий пример: (2 + 3/17) / (37 / 68).

Казалось бы, сократить и вовсе нечего. Но что, если записать результат сложения в первых скобках в виде неправильной дроби? Посмотрите: (37/17) / (37/68)

Теперь всё встает на свои места! Запишем пример таким образом, чтобы всё стало очевидно: (37*68) / (17*37).

Сократим 37 в числителе и знаменателе и, наконец, разделим верхнюю и нижнюю части на 17. Вы же помните основное правило для правильной и неправильной дроби? Мы можем умножать и делить их на любое число, если делаем это одновременно для числителя и знаменателя.

Итак, получаем ответ: 4. Пример выглядел сложным, а ответ содержит всего одну цифру. В математике так часто происходит. Главное - не бояться и следовать простым правилам.

Распространенные ошибки

При осуществлении учащийся может легко совершить одну из популярных ошибок. Обычно они происходят из-за невнимательности, а иногда - из-за того, что изученный материал ещё не отложился в голове как следует.

Нередко сумма чисел, стоящая в числителе, вызывает желание сократить отдельные её компоненты. Допустим, в примере: (13 + 2) / 13, написанном без скобок (с горизонтальной чертой), многие ученики по неопытности зачеркивают 13 сверху и снизу. Но так делать нельзя ни в коем случае, ведь это грубая ошибка! Если бы вместо сложения стоял знак умножения, мы получили бы в ответе число 2. Но при осуществлении сложения никакие операции с одним из слагаемых не позволительны, только со всей суммой целиком.

Ещё ребята часто ошибаются при делении дробей. Возьмем две правильные несократимые дроби и разделим друг на друга: (5/6) / (25/33). Ученик может перепутать и записать результирующее выражение как (5*25) / (6*33). Но так бы получилось при умножении, а в нашем случае всё будет несколько иначе: (5*33) / (6*25). Сокращаем то, что возможно, и в ответе увидим 11/10. Получившуюся неправильную дробь запишем как десятичную - 1,1.

Скобки

Помните, что в любых математических выражениях порядок действий определяется приоритетом знаков операций и наличием скобок. При прочих равных отсчёт очередности выполнения действий происходит слева направо. Это актуально и для дробей - выражение в числителе или знаменателе рассчитывается строго по этому правилу.

Ведь Это результат деления одного числа на другое. Если они не делятся нацело, получается дробь - вот и всё.

Как записать дробь на компьютере

Поскольку стандартные средства не всегда позволяют создать дробь, состоящую из двух «ярусов», ученики порой идут на различные ухищрения. Например, копируют числители и знаменатели в графический редактор «Пейнт» и склеивают их воедино, рисуя между ними горизонтальную линию. Конечно, есть более простой вариант, который, кстати, предоставляет и массу дополнительных возможностей, которые станут полезны вам в будущем.

Откройте «Майкрософт Ворд». Одна из панелей в верхней части экрана носит называние «Вставка» - нажмите её. Справа, в той стороне, где расположены значки закрытия и сворачивания окна, есть кнопка «Формула». Это именно то, что нам нужно!

Если вы воспользуетесь данной функцией, на экране появится прямоугольная область, в которой можно использовать любые математические знаки, отсутствующие на клавиатуре, а также писать дроби в классическом виде. То есть разделяя числитель и знаменатель горизонтальной чертой. Вы даже можете удивиться, что такую правильную дробь настолько легко записать.

Изучайте математику

Если вы учитесь в 5-6 классе, то уже скоро знание математики (в том числе - умение работать с дробями!) потребуется во многих школьных предметах. Практически в любой задаче по физике, при измерении массы веществ в химии, в геометрии и тригонометрии без дробей никак не обойтись. Уже скоро вы научитесь вычислять всё в уме, даже не записывая выражения на бумаге, но будут появляться всё более и более сложные примеры. Поэтому выучите, что такое правильная дробь и как с ней работать, не отставайте по учебной программе, своевременно делайте домашние задания, и тогда вы преуспеете.

Обыкновенная дробь

Четверти

Упорядоченность . a и b существует правило, позволяющее однозначно идентифицировать между ними одно и только одно из трёх отношений : « < », « > » или « = ». Это правило называется правилом упорядочения и формулируется следующим образом: два неотрицательных числа и связаны тем же отношением, что и два целых числа и ; два неположительных числа a и b связаны тем же отношением, что и два неотрицательных числа и ; если же вдруг a неотрицательно, а b - отрицательно, то a > b . src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Суммирование дробей
Операция сложения . Для любых рациональных чисел a и b существует так называемое правило суммирования c . При этом само число c называется суммой чисел a и b и обозначается , а процесс отыскания такого числа называется суммированием . Правило суммирования имеет следующий вид: .
Операция умножения . Для любых рациональных чисел a и b существует так называемое правило умножения , которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число c . При этом само число c называется произведением чисел a и b и обозначается , а процесс отыскания такого числа также называется умножением . Правило умножения имеет следующий вид: .
Транзитивность отношения порядка. Для любой тройки рациональных чисел a , b и c если a меньше b и b меньше c , то a меньше c , а если a равно b и b равно c , то a равно c . 6435">Коммутативность сложения. От перемены мест рациональных слагаемых сумма не меняется.
Ассоциативность сложения. Порядок сложения трёх рациональных чисел не влияет на результат.
Наличие нуля . Существует рациональное число 0, которое сохраняет любое другое рациональное число при суммировании.
Наличие противоположных чисел. Любое рациональное число имеет противоположное рациональное число, при суммировании с которым даёт 0.
Коммутативность умножения. От перемены мест рациональных множителей произведение не меняется.
Ассоциативность умножения. Порядок перемножения трёх рациональных чисел не влияет на результат.
Наличие единицы . Существует рациональное число 1, которое сохраняет любое другое рациональное число при умножении.
Наличие обратных чисел . Любое рациональное число имеет обратное рациональное число, при умножении на которое даёт 1.
Дистрибутивность умножения относительно сложения. Операция умножения согласована с операцией сложения посредством распределительного закона:
Связь отношения порядка с операцией сложения. К левой и правой частям рационального неравенства можно прибавлять одно и то же рациональное число. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Аксиома Архимеда . Каково бы ни было рациональное число a , можно взять столько единиц, что их сумма превзойдёт a . src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Дополнительные свойства

Все остальные свойства, присущие рациональным числам, не выделяют в основные, потому что они, вообще говоря, уже не опираются непосредственно на свойства целых чисел, а могут быть доказаны исходя из приведённых основных свойств или непосредственно по определению некоторого математического объекта. Таких дополнительных свойств очень много. Здесь имеет смысл привести лишь некоторые из них.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Счётность множества

Нумерация рациональных чисел

Чтобы оценить количество рациональных чисел, нужно найти мощность их множества. Легко доказать, что множество рациональных чисел счётно . Для этого достаточно привести алгоритм, который нумерует рациональные числа, т. е. устанавливает биекцию между множествами рациональных и натуральных чисел.

Самый простой из таких алгоритмов выглядит следующим образом. Составляется бесконечная таблица обыкновенных дробей, на каждой i -ой строке в каждом j -ом столбце которой располагается дробь . Для определённости считается, что строки и столбцы этой таблицы нумеруются с единицы. Ячейки таблицы обозначаются , где i - номер строки таблицы, в которой располагается ячейка, а j - номер столбца.

Полученная таблица обходится «змейкой» по следующему формальному алгоритму.

Эти правила просматриваются сверху вниз и следующее положение выбирается по первому совпадению.

В процессе такого обхода каждому новому рациональному числу ставится в соответствие очередное натуральное число. Т. е. дроби 1 / 1 ставится в соответствие число 1, дроби 2 / 1 - число 2, и т. д. Нужно отметить, что нумеруются только несократимые дроби. Формальным признаком несократимости является равенство единице наибольшего общего делителя числителя и знаменателя дроби.

Следуя этому алгоритму, можно занумеровать все положительные рациональные числа. Это значит, что множество положительных рациональных чисел счётно. Легко установить биекцию между множествами положительных и отрицательных рациональных чисел, просто поставив в соответствие каждому рациональному числу противоположное ему. Т. о. множество отрицательных рациональных чисел тоже счётно. Их объединение также счётно по свойству счётных множеств. Множество же рациональных чисел тоже счётно как объединение счётного множества с конечным.

Утверждение о счётности множества рациональных чисел может вызывать некоторое недоумение, т. к. на первый взгляд складывается впечатление, что оно гораздо обширнее множества натуральных чисел. На самом деле это не так и натуральных чисел хватает, чтобы занумеровать все рациональные.

Недостаточность рациональных чисел

Гипотенуза такого треугольника не выражается никаким рациональным числом

Рациональными числами вида 1 / n при больших n можно измерять сколь угодно малые величины . Этот факт создаёт обманчивое впечатление, что рациональными числами можно измерить вообще любые геометрические расстояния . Легко показать, что это не верно.

Из теоремы Пифагора известно, что гипотенуза прямоугольного треугольника выражается как квадратный корень суммы квадратов его катетов . Т. о. длина гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника с единичным катетом равна , т. е. числу, квадрат которого равен 2.

Если допустить, что число представляется некоторым рациональным числом, то найдётся такое целое число m и такое натуральное число n , что , причём дробь несократима, т. е. числа m и n - взаимно простые.

Если , то , т. е. m 2 = 2n 2 . Следовательно, число m 2 чётно, но произведение двух нечётных чисел нечётно, что означает, что само число m также чётно. А значит найдётся натуральное число k , такое что число m можно представить в виде m = 2k . Квадрат числа m в этом смысле m 2 = 4k 2 , но с другой стороны m 2 = 2n 2 , значит 4k 2 = 2n 2 , или n 2 = 2k 2 . Как уже показано ранее для числа m , это значит, что число n - чётно, как и m . Но тогда они не являются взаимно простыми, так как оба делятся пополам. Полученное противоречие доказывает, что не есть рациональное число.