Примеры решения задач по гидростатике

Ткань можно проткнуть иголкой, но не карандашом (если приложить такое же усилие). Карандаш и игла имеют разную форму и поэтому оказывают на ткань неодинаковое давление. Давление вездесуще. Оно приводит в действие механизмы (см. статью « «). Оно влияет на . оказывают давление на поверхности, с которыми соприкасаются. Атмосферное давление влияет на погоду прибор для измерения атмосферного давления – .

Что такое давление

Когда на тело перпендикулярно к его поверхности действует , то тело оказывается под давлением. Давление зависит от того, насколько велика сила, и от площади поверхности, на которую сила действует. Например, если выйти на снег в обычной обуви, можно провалиться; по этого не произойдет, если мы наденем лыжи. Вес тела один и тот же, но во втором случае давление распределится по большей поверхности. Чем больше поверхность, тем меньше давление. У северного оленя широкие копыта - ведь он ходит на снегу, и давление копыта на снег должно быть как можно меньше. Если нож острый, сила прикладывается к поверхности небольшой площади. Тупой нож распределяет силу по большей поверхности, поэтому и режет хуже. Единица давления - паскаль (Па) - названа в честь французского ученого Блеза Паскаля (1623 - 1662), сделавшего немало открытий в области атмосферного давления.

Давление жидкостей и газов

Жидкости и газы принимают форму сосуда, в котором они содержатся. В отличие от твердых тел, жидкости и газы давят на все стенки сосуда. Давление жидкостей и газов направлено во все стороны. давит не только на дно, но и на стенки аквариума. Сам аквариум давит только вниз. давит изнутри на футбольный мяч во всех направлениях, и поэтому мяч круглый.

Гидравлические механизмы

Действие гидравлических механизмов основано на давлении жидкости. Жидкость не сжимается, поэтому если к ней приложить силу, она будет вынуждена сдвинуться с места. И тормоза работают на гидравлическом принципе. Уменьшение оборотов колее достигается с помощью давления тормозной жидкости. Водитель нажимает на педаль, поршень прокачивает тормозную жидкость через цилиндр, дальше она по трубке поступает в два других цилиндра и давит на поршни. Поршни прижимают тормозные колодки к диску колеса. Возникающее замедляет вращение колеса.

Пневматические механизмы

Пневматические механизмы действуют благодаря давлению газов - как правило, воздуха. В отличие от жидкостей, воздух может сжиматься, и тогда давление его возрастает. Действие отбойного молотка основано на том, что поршень сжимает воздух внутри его до очень большого давления. В отбойном молотке сжатый воздух давит на резец с такой силой, что можно бурить даже камень.

Пеногонный огнетушитель - это пневматическое устройство, работающее на сжатом углекислом газе. Сжав рукоятку, вы высвобождаете находящийся в канистре сжатый углекислый газ. Газ с огромной силой давит вниз, на специальный раствор, вытесняет его в трубку и шланг. Из шланга вырывается струя воды и пены.

Атмосферное давление

Атмосферное давление создастся весом воздуха над поверхностью . На каждый квадратный метр воздух давит с силой большей, чем вес слона. Вблизи поверхности Земли давление выше, чем высоко в небе. На высоте 10 000 метров там, где летают реактивные самолеты, давление невелико, так как сверху давит незначительная воздушная масса. В салоне самолёта поддерживается нормальное атмосферное давление, чтобы люди могли свободно дышать на большой высоте. Но даже в герметичном салоне самолёта у людей закладывает уши, когда давление становится ниже, чем давление внутри ушной раковины.

Атмосферное давление измеряется в миллиметрах ртутного столба. Когда меняется давление, меняется и . Низкое давление означает, что предстоит ухудшение погоды. Высокое давление приносит ясную погоду. Нормальное давление на уровне моря – 760 мм (101 300 Па). В дни ураганов оно может упасть до 683 мм (910 Па).

Задача 1

Турист проехал на велосипеде за один день 40 км. При этом с 9.00 до 11.20 он ехал со скоростью, которая равномерно возрастала со временем от 10 км/ч до 14 км/ч. Затем турист загорал на пляже. На оставшийся путь он потратил время с 18.30 до 20.00. Определите среднюю скорость туриста на вечернем участке поездки.

Возможное решение

С 9.00 до 11.20 турист ехал со средней скоростью (10 + 14)/2 = 12 км/ч (так как скорость возрастала равномерно со временем). Значит, за это время турист проехал расстояние

За время с 18.30 до 20.00 велосипедист проехал 40 – 28 = 12 км. Следовательно, средняя скорость туриста на вечернем участке поездки равна:

Критерии оценивания

Средняя скорость туриста на утреннем участке поездки (12 км/ч): 4 балла
Расстояние, которое проехал турист с 9.00 до 11.20 (28 км): 2 балла
Расстояние, которое проехал турист с 18.30 до 20.00 (12 км): 2 балла
Средняя скорость туриста на вечернем участке поездки (8 км/ч): 2 балла

Максимум за задачу – 10 баллов .

Задача 2

Система, состоящая из двух однородных стержней разной плотности, находится в равновесии. Масса верхнего стержня m 1 = 1,4 кг. Трение пренебрежимо мало.

Определите, при какой массе m 2 нижнего стержня возможно такое равновесие.

Возможное решение

Так как нижний стержень подвешен за концы, находится в равновесии и его центр тяжести располагается посередине, то силы реакции нитей, действующие на него, одинаковы и равны по модулю m 2 g/2 . Запишем уравнение моментов для верхнего стержня относительно точки крепления левой (верхней) нити:

Критерии оценивания

Силы реакции нитей, действующие на нижний стержень, равны: 3 балла

Значения модулей этих сил реакций (m 2 g/2 ): 2 балла

Уравнение моментов: 4 балла

m 2 = 1,2 кг : 1 балл

Максимум за задачу – 10 баллов .

Задача 3

В цилиндрическом сосуде с водой находится частично погружённое в воду тело, привязанное натянутой нитью ко дну сосуда. При этом тело погружено в воду на две трети своего объёма. Если перерезать нить, то тело всплывёт и будет плавать погружённым в воду наполовину. На сколько при этом изменится уровень воды в сосуде? Масса тела m = 30 г, плотность воды ρ = 1,0 г/см 3 , площадь дна сосуда S = 10 см 2 .

Возможное решение 1

Сила давления стакана на стол (после перерезания нити) не изменится, следовательно,

T = ρ·g· ∆h· S, где ܶT – сила реакции со стороны нити, ∆h – изменение уровня воды. Запишем уравнение равновесия тела в первом случае:

Mg = ρg·(1/2)·V

Из последних двух уравнений находим, что ܶT = 1/3 · mg

Окончательно получаем:

Критерии оценивания

Сила давления стакана на стол не изменится: 2 балла
Уравнение равновесия тела в первом случае: 2 балла
Уравнение равновесия тела во втором случае: 2 балла
T = 1/3 · mg: 1 балл
∆h = T/(ρ·g · S): 2 балла
∆h = 0,01м: 1 балл

Возможное решение 2

Уравнение равновесия тела во втором случае:

mg = ρg · ½ · V ⟹ V = 2m/ρ, где ܸV – объём тела.

Изменение объёма погружённой части тела равно:

Окончательно получаем:

Критерии оценивания

mg = ρg · ½ · V: 4 балла
∆V = 1/6 · V : 2 балла
∆h = ∆V/S: 3 балла
∆h = 0,01 м: 1 балл

Максимум за задачу – 10 баллов .

Задача 4

Определите давление воздуха над поверхностью жидкости в точке А внутри закрытого участка изогнутой трубки, если ρ = 800 кг/м 3 , h = 20 см, p 0 = 101 кПа, g = 10 м/с 2 . Жидкости плотностями ρ и 2ρ друг с другом не смешиваются.

Задача

Определить абсолютное давление р о на свободной поверхности воды в нижнем сосуде, если в верхнем сосуде жидкость керосин Т-1. Известны h 1 и h 2 .h 1 = 210 мм; h 2 = 170 мм.

ρ к = 808 кг/м 3 - плотность керосина;

ρ = 1000кг/м 3 - плотность воды.

Решение.

Согласно основному уравнению гидростатики р абс = р 0 + ρgh , где р 0 - давление на поверхности жидкости; ρ - плотность жидкости; h - глубина погружения точки.

Давление на поверхности в нижнем сосуде равно р о .

Тогда · 9,81 ? 0,21 + 1000 ? 9,81 ? 0,17 = 103330 Па.

Ответ: абсолютное давление на поверхности воды в нижнем сосуде 103330 Па.

Задача 2.

Определить силу давления на коническую крышку горизонтального цилиндрического сосуда с диаметром D , заполненного водой с температурой С, показание манометра р м . Показать на рисунке вертикальную и горизонтальную составляющие силы, а также полную силу давления на коническую крышку. D=a.

р м = 0,4 МПа = 400 000 Па; а = 1000 мм = 1м; D = 1,2 м; ρ = 1000 кг/м 3 .

Решение.

Коническая крышка имеет криволинейную стенку. Сила гидростатического давления на эту стенку будет равна,

р м

S z

P x

P z

где Р х - проекция силы на горизонтальную ось;

Р z - проекция силы на вертикальную ось.

Р х = p c s z = pgh c s z , где р с - давление в центре тяжести вертикальной проекции крышки S х =
;

h c - глубина погружения центра тяжести вертикальной проекции крышки S z .
м;

Р z - вес жидкости в объёме конической крышки V;

Тогда полная сила гидростатического давления на коническую крышку будет равна:

Ответ: Р = 451 000Н

Задача 3.

Плоский прямоугольный щит АВ шириной в =2 м, расположенный под углом α = 60 о к горизонту, поддерживает уровень воды в прямоугольном канале глубиной H =4м. Определить силу гидростатического давления на щит и положение центра давления. Построить эпюру гидростатического давления.

Решение. Силу избыточного гидростатического давления определим по формуле (М.2). В нашем случае h c = H / 2. А площадь щита

S = в Н / sinα = 2·4 / 0,866 = 9,25 м 2 .

Р = ρgh c S = 998 ? 9.81 ? 9.25 = 181 480 H.

Положение центра давления определяется по формуле:

где
м 4

Следовательно,

Задача 4.

Определить величину и направление силы гидростатического давления на четверть АВ цилиндрической стенки, поддерживающей слой воды h = r = 2 м. Ширина криволинейной поверхности b = 4 м.

Задача 5.

Решение. По формуле определим горизонтальную составляющую силы Р X .

Р Х =
= 1000 · 9,81 · 2 2 /2 · 4 = 80 000 Н.

По формуле p z = pgV

определим вертикальную составляющую силы. Объём тела давления рассчитываем по формуле

По формуле находим равнодействующую силы давления.

Направление силы гидростатического давления определяется углом наклона её к горизонту, тангенс которого находят из силового треугольника tgα = P Z / P X = 122 970/80 000= 1,54 , α=57 0 С.

Проведя прямую через центр окружности (точка О) под углом α к горизонту, получим направление Р, а точка пересечения этой прямой с образующей цилиндра даёт центр давления - точку D.

Гидродинамика

По горизонтальной трубе общей длиной l =10 м и внутренним диаметром d = 60 мм подаётся вода при температуре t = 20 о С. Труба снабжена вентилем К (коэффициент сопротивления ξ=5), а также манометрами, которые фиксируют избыточные давление р 1 = 2·10 5 Па на входе и р 2 = 1,5·10 5 Па на выходе.

Определить расход воды Q , приняв в расчётах коэффициент гидравлического трения λ = 0,023, и построить в масштабе напорную и пьезометрическую линии для трубы.

Решение. Для определения расхода воды найдём среднюю скорость её движения по трубопроводу, применив уравнение Бернулли для сечений 1−1 и 2−2:

(А)

За плоскость сравнения принимаем плоскость, проходящую через ось трубы 0−0. Так как заданный трубопровод постоянного диаметра, то

скоростные напоры av 2 /2g в сечениях 1−1 и 2−2 будут равными.

Сумма гидравлических потерь h 1-2 состоит из потерь в местных сопротивлениях h м и потерь по длине h тр:

Подставим значения потерь в уравнение Бернулли (Б) и определим среднюю скорость:

Определим расход воды по формуле:

Для построения напорной и пьезометрической линий рассчитаем:

1) скоростной напор h ck = av 2 /2g;

где υ - кинематический коэффициент вязкости воды при 20 о С;

режим течения турбулентный, поэтому a = 1,

;

2) полный напор в сечении 1−1:

3) полный напор в сечении 2−2:

4) потери напора в вентиле К

;

5) потери напора на длине l: 2:

Проверка по уравнению (Б):

20,39 = 15,29 + 2,9 + 2?1,11

т.е. расчёты выполнены верно, относительная погрешность составляет (0,02:20,4)·100 = 0,1 %.

По найденным выше значениям строим линии. Откладываем от плоскости сравнения 0−0 в сечении 1−1 в масштабе полный напор Н 1 =20,97 м, и по ходу движения воды от него отнимаем потери

Получаем напорную линию. Откладывая от неё вниз скоростной напор h ск, получаем пьезометрическую линию.

Задача 6.

При движении жидкости из резервуара в атмосферу по горизонтальному трубопроводу диаметром dи длиной 2L уровень в пьезометре, установленном посредине длины трубы равен h. Определить расход воды и коэффициент гидравлического трения трубы L, если статический напор в баке постоянен и равен Н. Построить пьезометрическую и напорную линии. Сопротивлением входа в трубу пренебречь.

Н = 7 м, h = 3 м, l = 3м, d = 30 мм = 0,03 м, р = 1000 кг/м 3 .

Решение. Составим уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2, плоскость сравнения проходит через ось трубы 0-0.

,

где z - расстояние от плоскости 0-0 до центра тяжести сечения;

Пьезометрическая высота в сечении;

Скоростная высота в сечении;

h п1-2 - потери напора на гидравлические сопротивления между сечениями.

Тогда
,

где L - коэффициент гидравлического трения;

- потери напора на трение,

Составим уравнение Бернулли для сечений 2−2 и 3−3 и решим относительно плоскости 0−0.

Отсюда

Решаем совместно полученные выражения

Расход жидкости м 3 /с.

Определим:

Ответ: λ = 0,03, Q = 0,00313 м 3 /с.

5.3 Истечение жидкости через отверстия и насадки

Задача 7 .

Определить длину трубы L, при которой опорожнение цилиндрического бака диаметром Dна глубину Н будет происходить в два раза медленнее, чем через отверстие того же диаметра d. Коэффициент гидравлического трения в трубе принять λ=0,025.

Н = 8 м, d = 0,5 м.

Решение.

Расход через отверстие в тонкой стенке равен
,

где μ - коэффициент расхода при истечении через отверстие m = 0.62;

S - площадь сечения отверстия,
;

Н - напор.

Расход через трубу длиной l и диаметром d c условием задачи составит:

, где M TP - коэффициент расхода через трубу.

Время опорожнения сосуда при переменном напоре определяется по формуле t = 2v/Qд, где V - объём жидкости в баке при наполнении его напором Н ; Q Д - действительный расход.

По условию задачи
, или
.

Тогда
. Из этого выражения найдём длину трубы l.

Ответ: длина тубы l = 19,5м.

5.4 Гидравлический удар в трубах

Задача 8 .

Вода в количестве Q перекачивается по чугунной трубе диаметром d , длиной l c толщиной стенки . Свободный конец трубы снабжён затвором. Определить время закрытия затвора при условии, чтобы повышение давления в трубе вследствие гидравлического удара не превышало
Па. Как повысится давление при мгновенном закрытии затвора?

Q =0,053 м 3 /с. d = 0,15м, l = 1600м, = 9,5 мм,
= 1 000 000 Па, p =1000 кг /м 3 .

Решение.

При условии, что время полного закрытия затвора
, ударная волна будет равна
,

где p - плотность жидкости;

v- начальная скорость течения жидкости;

l - длина трубы;

T - фаза гидравлического удара.

Из этого выражения следует

По условию задачи?р=1 000 000 Па.
м.

Т =
с.

При мгновенном закрытии затвора превышение давления составит

где Е Ж - модуль упругости жидкости, Е Ж =
Па;

Е - модуль упругости материала трубы, Е = 152
Па;

d - диаметр трубы;

δ- толщина стенки трубы.

кПа.

Ответ: Т = 0,1 с, /\p = 3900кПа.

Список литературы

1. Прозоров И.В., Николадзе Г.И., Минаев А.В. Гидравлика, водоснабжение и канализация. - М.: Высшая школа, 1990.

2. Калицун В.И. Гидравлика, водоснабжение и канализация: Учеб. Пособие для вузов по спец. «Пром. и гражд. стр-во». - 4-е изд., перераб. И доп. - М.: Стройиздат, 2003.

3. Константинов Н.П., Петров Н.А., Высоцкий Л.И. Гидравлика, гидрология, гидрометрия: учебник для вузов. В 2 ч. /Под ред. Н.М. Константинова. - М.: Высш. шк., 1987. - 438 с.: ил.

4. Альтшуль А.Д., Животовская Л.С., Иванов Л.П. Гидравлика и аэродинамика. − М.: Стройиздат, 1987.− 470 с.

5. Чугаев Р. Р. Гидравлика.- Л.: Энергоиздат, 1982. - 678 с.

6. Основы гидравлики и аэродинамики: учебник для техникумов и колледжей. Калицун В.И., Дроздов Е.В., Комаров А.С., Чижик К.И.- 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ОАО Изд-во «Стройиздат», 2004. - 296 с.

7. Киселёв П.Г. Гидравлика: основы механики жидкости и газа: учеб. пособие для вузов. - М.: Энергия, 1980. - 460.

8. Справочник по гидравлике. / Под ред. В.А. Большакова− Киев: издательское объединение «Вища школа», 1977.− 280 с.

При решении задач на тему гидростатического давления необходимо различать и не смешивать понятия абсолютного давления Р А, избыточного давления Р, вакуума Р ВАК, знать взаимосвязь между давлением (Па) и соответствующей ей пьезометрической высотой (h), уяснить понятие напора, знать закон Паскаля и свойства гидростатического давления.

При определении давления в точке объема или на точку площадки используется основное уравнение гидростатики (1.1.13).

При решении задач с системой сосудов необходимо составить уравнение абсолютных давлений, обеспечивающих неподвижность системы, т.е. равенства нулю алгебраической суммы всех действующих давлений. Уравнение составляется для какой - либо поверхности равного давления, выбранной в качестве поверхности отсчета.

Все единицы измерения величин следует принимать в системе СИ: масса – кг; сила – Н; давление – Па; линейные размеры, площади, объемы – м, м 2 , м 3 .

ПРИМЕРЫ

Пример 1.1.1 . Определить изменение плотности воды при ее нагревании от t 1 = 7 о С до t 2 = 97 о С, если коэффициент температурного расширения b t =0,0004 о С -1 .

Решение . При нагревании удельный объем воды увеличивается от V 1 до V 2 .

По формуле (1.1.1) плотность воды при начальной и конечной температурах составляет:

r 1 = М / V 1 , r 2 = М / V 2 .

Так как масса воды постоянна, то изменение плотности выражается:

Из формулы (1.4) увеличение объема воды , тогда

Примечание: изменение плотности жидкости при сжатии определяется аналогично с использованием коэффициента объемного сжатия по формуле (1.1.2). При этом V 2 = V 1 - DV.

Пример 1.1.2 . Определить объем расширительного бачка системы водяного охлаждения вместимостью 10 литров при нагревании от температуры t 1 = 15 о С до t 2 = 95 о С при давлении, близком к атмосферному.

Решение . Без учета коэффициента запаса объем бачка равен дополнительному объему воды при температурном расширении. Из формулы (1.1.4) увеличение объема воды

Плотности воды принимаем по таблице 1: r 1 = 998,9 кг/м 3 , r 2 = 961,8 кг/ м 3 . Коэффициент температурного расширения определяем по формуле (1.1.5):

Первоначальный объем V =10л = 10 . 10 -3 м 3 = 0,01 м 3 .

Дополнительный объем воды:

DV = 10 . 10 -3 (95 -15) 0,46 . 10 -3 = 368 . 10 -6 м 3 = 0,368 л

Пример 1.1.3 . В охлаждаемом сосуде газ, имеющий первоначальное давление Р 1 = 10 5 Па. и занимающий объем V 1 = 0,001 м 3 , сжимается до давления Р 2 = 0,5 . 10 6 Па. Определить объем газа после сжатия.

Решение . В случае охлаждаемого сосуда процесс является изотермическим (t = const) при котором уравнение состояния газа (1.1.8) принимает вид:

Р V = const или Р 1 V 1 = Р 2 V 2

Откуда определяем объем газа после сжатия

V 2 = Р 1 V 1 / Р 2 = 1 . 10 5 . 0.001 / 0,5 . 10 6 = 0,0002 м 3 =0,2 л.

Пример 1.1.4. Определить объем воды, который необходимо дополнительно подать в трубопровод диаметром d = 500 мм и длиной L = 1км, заполненный водой перед гидравлическим испытанием при атмосферном давлении и температуре t = 20 о С, для повышения давления в нем на DР = 5 . 10 6 Па. Материал труб считать абсолютно жестким.

Решение. Для определения дополнительного объема воды, который необходимо подать используем соотношение (1.1.2):

Первоначальный объем воды в трубопроводе равен объему трубопровода:

Приняв по справочным данным модуль объемной упругости воды

Е = 2 . 10 9 Па, определяем коэффициент объемного сжатия:

b V = 1 /Е = 1 / 2 . 10 9 = 5 . 10 -10 , Па -1

Преобразовывая соотношение (1.1.2) относительно DV, получаем:

b V DР V ТР + b V DР DV = DV; b V DР V ТР = (1 + b V DР) DV

Выражая DV, получаем искомый дополнительный объем:

Пример 1.1.5 . Определить среднюю толщину отложений d ОТЛ в трубопроводе внутренним диаметром d = 0,3 м и длиной L = 2 км, если при выпуске воды в количестве DV =0,05 м 3 давление в нем падает на величину DР = 1 . 10 6 Па.

Решение. Взаимозависимость изменения объема и давления воды характеризуется модулем объемной упругости.

Принимаем: Е = 2 . 10 9 Па.

Из формул (1.1.2) и (1.1.3) находим объем воды в трубопроводе с отложениями:

Этот же объем равен вместимости трубопровода:

Откуда определяем средний внутренний диаметр трубы с отложениями

Средняя толщина отложений составляет:

Пример 1.1.6 . Вязкость нефти, определенная по вискозиметру Энглера, составляет 8,5 о Е. Вычислить динамическую вязкость нефти, если ее плотность r = 850 кг/м 3 .

Решение . По эмпирической формуле Убеллоде (1.1.9) находим кинематическую вязкость нефти:

n = (0,0731 о Е – 0,0631 / о Е) 10 -4 =

= (0,0731 . 8,5 – 0.0631/8,5) = 0,614 . 10 -4 м 2 /с

Динамическую вязкость находим из соотношения (1.1.7):

m = n r = 0,614 . 10 -4 . 850 = 0,052 Па. с.

Пример 1.1.7 . Определить высоту подъема воды в капиллярной трубке диаметром d = 0,001 м при температуре t = 80 О С.

Решение. По справочным данным находим:

плотность воды при температуре 80 О С r = 971,8 кг/м 3 ;

поверхностное натяжение воды при температуре 20 О С s О = 0,0726 Н/м;

коэффициент b = 0,00015 Н/м О С.

По формуле (1.1.11) находим поверхностное натяжение воды при температуре 80 О С:

s = s О - b Dt = 0,0726 – 0,00015 . (80 -20) = 0,0636 Н/м

По формуле (1.1.12) изменение поверхностного давления, определяющего высоту капиллярного поднятия h КАП, составляет:

Р ПОВ = 2s / r или r g h КАП = 2s / r ,

откуда находим высоту подъема воды в трубке:

h КАП = 2 s / r g r = 2 . 0,0636 / 971,8 . 9,81 . 0,0005 =

0,1272 / 4,768 = 0,027 м =2,7 см.

Пример 1.1.8 . Определить абсолютное гидростатическое давление воды на дно открытого сосуда, наполненного водой. Глубина воды в сосуде h = 200 см. Атмосферное давление соответствует 755 мм рт. ст. Температура воды 20 о С. Выразить полученное значение давления высотой ртутного столба (r РТ = 13600 кг/м 3) и водного столба.

Решение: По основному уравнению гидростатики для открытого резервуара абсолютное давление в любой точке объема определяется по формуле (1.1.14):

Р А = Р а + r g h

По таблице 1 принимаем плотность воды при температуре 20 о С:

r = 998,23 кг/м 3 .

Переводя единицы измерения атмосферного давления и глубины воды в сосуде в систему СИ, определяем абсолютное давление на дне сосуда:

Р А = 755 . 133,322 + 998.23 . 9,81 . 2 =

100658 + 19585 = 120243 Па =120,2 КПа

Находим соответствующую высоту ртутного столба:

h А = Р/ r РТ g =120243 /13600 . 9,81 = 0, 902 м.

Находим высоту водного столба, соответствующую данному абсолютному давлению:

h А = Р А / r g = 120243 / 998,23 . 9,81 = 12, 3 м.

Это означает, что если к уровню дна сосуда присоединить закрытый пьезометр (трубку, в которой создан абсолютный вакуум), то вода в нем поднимется на высоту 12,3 м. Давление этого столба воды уравновешивает абсолютное давление, оказываемое на дно сосуда жидкостью и атмосферным давлением.

Пример 1.1 .9. В закрытом резервуаре с водой давление на свободной поверхности Р О =14,7 . 10 4 Па. На какую высоту Н поднимется вода в открытом пьезометре, присоединенном на глубине h = 5 м. Атмосферное давление соответствует h а = 10 м вод. ст.

Решение. Для решения данной задачи необходимо составить уравнение равенства абсолютных давлений со стороны резервуара и со стороны пьезометра относительно выбранной плоскости равного давления. Выберем плоскость равного давления 0-0 на уровне свободной поверхности в резервуаре.

Абсолютное давление со стороны резервуара на выбранном уровне равно поверхностному давлению:

Р А = Р О. (1)

Абсолютное давление на том же уровне со стороны жидкости в пьезометре складывается из атмосферного давления Р а и давления воды высотой h 1:

Р А = Р а + r g h 1 (2)

Так как система находится в равновесии (покое), то абсолютные давления со стороны резервуара и со стороны пьезометра уравновешиваются. Приравнивая правые части равенств (1) и (2), получим:

Р О = Р а + r g h 1 ,

Величина атмосферного давления в системе СИ составляет:

Р а = 9,806 . 10 000 мм = 9,806 . 10 4 Па.

Находим высоту превышения уровня воды в пьезометре над выбранной плоскостью равного давления:

h 1 = (Р О - Р а) / r g = (14,7 . 10 4 - 9,806 . 10 4) /1000 . 9,81 = 5 м.

Это превышение не зависит от точки подключения пьезометра, так как давления столбов жидкости высотой h ниже плоскости сравнения слева и справа взаимно компенсируются.

Общая высота воды в пьезометре больше высоты h 1 на глубину погружения точки присоединения пьезометра. Для данной задачи

Н = h 1 + h = 5 + 5 = 10 м.

Примечание: аналогичный результат можно получить, выбрав в качестве плоскости равного давления уровень подключения пьезометра.

Пример 1.1.10 . Построить эпюру абсолютного давления жидкости на ломаную стенку в открытом резервуаре.

Решение . Абсолютное давление в случае открытого резервуара определяется по формуле (1.1.14):

Р А = Р а + r g h, т.е. избыточное давление в каждой точке увеличивается на величину поверхностного давления (закон Паскаля).

Избыточное давление определяется:

в т. С: Р = r g . 0 = 0

в т. В: Р = r g . Н 2

в т. А: Р = r g (Н 2 + Н 1)

Отложим значение избыточного давления в точке В по нормали к стенке СВ и соединим с точкой С. Получим треугольник эпюры избыточного давления на стенку СВ. Для построения эпюры абсолютного давления в каждой точке необходимо добавить значение поверхностного давления (в данном случае атмосферного).

Аналогично ведется построение эпюры для отрезка АВ: Отложим значения избыточного давления в точке В и в точке А в направлении нормали к линии АВ, соединим полученные точки. Абсолютное давление получаем, увеличивая длину вектора на величину, соответствующую атмосферному давлению.

Пример 1.1.11. Определить абсолютное давление воздуха в сосуде с водой, если показание ртутного манометра h = 368 мм, Н = 1 м, плотность ртути r РТ =13600 кг/м 3 . Атмосферное давление соответствует 736 мм рт.ст.

Решение .

Выберем свободную поверхность ртути в качестве поверхности равного давления. Атмосферное давление на поверхности ртути уравновешивается абсолютным давлением воздуха в сосуде Р А, давлением столба воды высотой Н и столба ртути высотой h.

Составим уравнение равновесия и определим из него абсолютное давление воздуха (переводя все единицы в систему СИ):

Р а = Р А + r В g Н + r РТ g h , откуда

Р А = Р а - r В g Н - r РТ g h =

736 . 133,3 - 1000 . 9,81 . 1 - 13600 . 9,81 . 0,368 = 39202 Па

Так как абсолютное давление воздуха в сосуде меньше атмосферного, то в сосуде имеет место вакуум, равный разности атмосферного и абсолютного давлений:

Р ВАК = Р а – Р А = 736 . 133,3 - 39202 = 58907 Па = 59 КПа.

Примечание: тот же результат можно получить, выбрав в качестве поверхности равного давления свободную поверхность воды в сосуде или поверхность раздела воды и ртути.

Пример 1.1.12 . Определить избыточное давление Р О воздуха в напорном баке по показаниям батарейного ртутного манометра. Соединительные трубки заполнены водой. Отметки уровней даны в м. Какой высоты должен быть пьезометр для измерения этого давления?

Решение . Избыточное давление Р О = Р А – Р а в баке уравновешивается давлением столбов ртути и воды в манометре.

Давления взаимно уравновешивающихся высот на участках изгиба манометра из рассмотрения исключаем. Суммируя (с учетом направления действия давления) показания манометра от открытого конца до уровня свободной поверхности, составим уравнение равновесия:

Р О = r РТ g (1,8 – 0,8) - r В g (1,6 – 0,8) +r РТ g (1,6 – 0,6) - r В g (2,6 – 0,6) =

R РТ g (1,8 – 0,8 +1,6 – 0,6) - r В g (1,6 – 0,8 + 2,6 – 0,6) =

13600 . 9,81 . 2 – 1000 . 9,81 . 2.8 = 239364 Па = 0,24 МПа

Из формулы (1.16) находим высоту столба воды, соответствующую избыточному давлению Р О:

h ИЗБ = Р О / r В g = 0,24 . 10 6 / 1000 . 9,81= 24,5 м

Высота пьезометра выше на величину превышения свободной поверхности воды в баке над плоскостью с нулевой отметкой:

Н = h ИЗБ + 2,6 = 27,1 м.

Пример 1.13. Определить толщину s стальной стенки бака диаметром D = 4 м для хранения нефти (r Н = 900 кг/м 3) при высоте слоя нефти Н = 5 м. Давление на поверхности нефти Р О = 24,5 . 10 4 Па. Допустимое напряжение на растяжение материала стенки s = 140 МПа.

Решение . Расчетная толщина стенки круглого бака (без коэффициента запаса) определяется из условия сопротивления максимальному избыточному давлению. Атмосферное давление в баке не учитывается, так как оно компенсируется атмосферным давлением с внешней стороны бака.

Максимальное избыточное давление Р стенка испытывает у дна:

Р = Р А – Р а = Р О + r Н g Н - Р а =

24,5 . 10 4 + 900 . 9,81 . 5 – 10 . 10 4 = 18,91 . 10 4 Па

Расчетная толщина стенки определяется по формуле:

Пример 1.1.14. Определить перепад давлений воды в вертикальном трубном кольце, если в точке А она нагревается до температуры t 1 = 95 о С, а в точке В остывает до t 2 = 70 о С. Расстояние между центрами нагревания и охлаждения h 1 = 12 м.

Решение . Перепад давлений обусловлен разностью гидростатических давлений столба горячей воды в левой трубе и остывшей воды в правой трубе.

Давления столбов воды высотой h 2 в левой и правой трубах взаимно уравновешиваются и в расчете не учитываются, так как температура воды в них и, соответственно, плотность, одинаковы. Аналогично исключаем из расчета давления в левом и правом стояках высотой h 3 .

Тогда давление слева Р 1 = r Г g h 1 , давление справа Р 2 = r О g h 1 .

Перепад давлений составляет:

DР = Р 2 – Р 1 = r О g h 1 - r Г g h 1 = g h 1 (r О - r Г)

Принимаем по справочным данным (таблица 1) плотности воды при температуре t 1 = 95 о С и t 2 = 70 о С: r Г = 962 кг/м 3 , r О = 978 кг/м 3

Находим разность давлений

DР = g h 1 (r 2 - r 1) = 9,81 . 12 (978 –962) = 1882 Па.

Пример 1.1.15 . а) Определить избыточное давление воды в трубе, если Р МАН = 0,025 МПа, Н 1 = 0,5 м, Н 2 = 3 м.

б)Определить показания манометра при том же давлении в трубе, если вся трубка заполнена водой, Н 3 =5 м.

а)Решение . Избыточное давление в трубе уравновешено поверхностным давлением Р О = Р МАН в точке подключения манометра и системой столбов воды и воздуха в трубке. Давлением столбов воздуха можно пренебречь ввиду незначительности.

Составим уравнение равновесия с учетом направления давления столбов воды в трубке:

Р = Р МАН + r ВОД g Н 2 - r ВОД g Н 1 =

0,025 + 1000 . 9,81 . 10 -6 (3 – 0,5) = 0,025 + 0,025 = 0,05 МПа

б) Решение . Уравнение равновесия для данного случая

Р = Р МАН + r ВОД g Н 3 ,

откуда Р МАН = Р - r ВОД g Н 3 = 0,05 - 1000 . 9,81 . 10 -6 . 5 = 0,05 – 0,05 = 0 МПа.